Число 4,4, которое получается в результате, называется средним арифметическим. Поскольку такую оценку в журнал ставить не принято, учитель, скорее всего, округлит ее до 4.Средним арифметическим (или выборочным средним) ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.Среднее арифметическое, конечно, является важной характеристикой ряда чисел, в нашем случае — отметок за четверть, но иногда полезно рассматривать и другие средние. Например, претендуя на «5», ученик наверняка будет использовать такой аргумент: «Чаще всего в четверти я получал пятерки!». Статистик в этом случае сказал бы иначе: «Модой этого ряда является число 5».Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто. Можно сказать, что оно в этом ряду самое «модное».В отличие от среднего арифметического, которое можно вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть. Например, пусть тот же ученик получил по русскому языку следующие отметки: 4, 2, 3, 5. Каждая отметка встречается в этом ряду только один раз, и среди них нет числа, встречающегося чаще других. Значит, у этого ряда нет моды. А вот среднее арифметическое, конечно, есть: (4 + 2 + 3 + 5) : 4 = 3,5.Такой показатель, как мода, можно использовать не только в числовых рядах. Вы уже знакомы с социологическими опросами. Если, например, опросить большую группу учеников, какой школьный предмет им нравится больше всего, то модой этого ряда ответов окажется тот предмет, который будут называть чаще остальных.Это одна из причин, по которой мода широко используется при изучении спроса. Например, при решении вопросов, в пачки какого веса фасовать масло, какие открывать авиарейсы и т.п., предварительно изучается спрос и выявляется мода — наиболее часто встречающийся заказ. И даже выборы президента, с точки зрения статистики, не более, чем определение моды.Еще одной важной статистической характеристикой ряда данных является его медиана.Пример 2.В конце года 11 учеников 8 класса сдавали норматив по бегу на 100 метров. Были зафиксированы следующие результаты:Ученик | Результат(с) |
Данила | 15,3 |
Петя | 16,9 |
Лена | 21,8 |
Катя | 18,4 |
Стас | 16,1 |
Аня | 25,1 |
Оля | 19,9 |
Боря | 15,5 |
Паша | 14,7 |
Наташа | 20,2 |
Миша | 15,4 |
Отметка | Абсолютная частота | Относительная частота | Накопленная частота |
2 | 1 | 0,1 | 0,1 |
4 | 3 | 0,3 | 0,4 |
5 | 6 | 0,6 | 1 |
ИТОГО | 10 | 1 |
|
Поделим теперь каждое слагаемое в этой формуле на знаменатель — получим формулу для среднего арифметического с помощью относительных частот: 2 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,3 + 5 ∙ 0,6 = 4,4.Особенно ощутим выигрыш от использования приведенных формул, когда чисел в выборке много и они многократно повторяются.Что касается моды и медианы, то их вычисление по таблице частот происходит еще проще. Понятно, что для вычисления моды нужно найти максимальное значение в столбце абсолютных или относительных частот и выбрать соответствующее ему значение числового ряда. В нашем случае максимальная частота равна 6, значит, модой выборки будет 5. Если максимальных частот в таблице несколько, то выборка не имеет моды.Для вычисления медианы нужно найти первое значение накопленной частоты, превосходящее 0,5, и выбрать соответствующее ему значение числового ряда. В нашем случае накопленная частота впервые превосходит 0,5 только в последней строке таблицы, значит, медианой выборки будет 5.Вычисление числовых характеристик выборки по интервальной таблице частот нуждается в дополнительном комментарии. Ведь в такой таблице первый столбец занимают не числовые значения ряда, а целые интервалы. Каким образом умножать их на абсолютные или относительные частоты? В этом случае вместо интервалов используют их середины, т.е. полусуммы концов интервала.Пример 3.Вычислим, сколько в среднем весит портфель первоклассника.Вес портфеля (в кг) | Абсолютная частота | Относительная частота |
от 1 до 2 | 6 | 0,3 |
от 2 до 3 | 10 | 0,5 |
от 3 до 4 | 3 | 0,15 |
от 4 до 5 | 1 | 0,05 |
С использованием относительных частот: 1,5 · 0,3 + 2,5 · 0,5 + 3,5 · 0,15 + 4,5 · 0,05 = 2,45.Конечно, при вычислении числовых характеристик выборки по интервальной таблице частот получаются только их приближенные значения, ведь мы заменяем целую группу чисел, попадающих в интервал, его серединой. Но с таким приближением вполне можно смириться: во-первых, величина интервалов небольшая; во-вторых, исходные значения выборки, как правило, лежат как слева, так и справа от середины; наконец, в-третьих, все статистические характеристики все равно носят изменчивый характер — в другой выборке они получатся иными. Так, в нашем примере с портфелями точное (до грамма) значение среднего арифметического будет 2,283 кг, в чем вы можете убедиться, если посчитаете его не по интервальной таблице частот, а по самой выборке, приведенной в примере 3. Но вряд ли такая точность имеет смысл в реальных статистических исследованиях.Для вычисления моды и медианы по интервальной таблице частот в качестве моды берется целый интервал или его середина (в зависимости от постановки задачи), а для вычисления медианы используют пропорциональное делениеотрезка, на котором происходит «перевал» накопленной частоты через 0,5.
Разберем это на нашем примере с портфелями. Переход накопленной частоты через 0,5 происходит на интервале от 2 до 3. При этом в левом конце интервала накопленная частота равна 0,3, а в правом — 0,8 (см. рис.). Обозначив неизвестную нам медиану через х, составим следующую пропорцию:
Размах. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонениеСредние характеристики числового ряда позволяют оценить его поведение «в среднем». Но это далеко не всегда полностью характеризует выборку. Например, на планете Меркурий средняя температура +15°. Исходя из этого статистического показателя можно подумать, что на Меркурии умеренный климат, удобный для жизни людей. Однако на самом деле это не так. Температура на Меркурии колеблется от -150° до +350°.Значит, чтобы получить представление о поведении числового ряда, помимо средних характеристик надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько значения ряда различаются между собой, как сильно они «разбросаны» вокруг средних. Простейшей такой характеристикой является размах.Размах — это разность наибольшего и наименьшего значений ряда данных.Для температуры на Меркурии, например, размах равен 350° — (-150°) = 500°. Конечно, такого перепада температур человек выдержать не может.Размах очень просто вычисляется, но не всегда несет достоверную информацию, так как на его величину может сильно повлиять какое-то одно (возможно, ошибочное) значение статистического ряда.Вот почему в реальных статистических исследованиях чаще используют другую характеристику разброса, которая сложнее вычисляется, но зато меньше подвержена таким колебаниям. Прежде чем определять эту величину, рассмотрим на примере того, какой самый естественный способ вычисления «среднего отклонения от среднего».Пример 4.Найдем размах, дисперсию и стандартное отклонение отметок ученика из примера 1, заданных следующей частотной таблицей:Отметка | Абсолютная частота | Относительная частота | Накопленная частота |
2 | 1 | 0,1 | 0,1 |
4 | 3 | 0,3 | 0,4 |
5 | 6 | 0,6 | 1 |
ИТОГО | 10 | 1 |
|
Значение величины X | x1 | x2 | x3 |
| xn |
Вероятность | Р1 | Р2 | Р3 |
| Рn |
