Меню

bost-mix@at.ua

Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона

Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона
Основные формулы комбинаторики.

 

Порядок важен

Порядок неважен

Без повторений

С повторениями

 

Размещения

Перестановки

Сочетания

Пример 1.Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9?Решение:
    1-й способ. Выпишем по порядку все числа от 10 до 99 и выберем те, что нам нужны: 10, 12, 14, 20, 22, 24, 40, 42, 44, 50, 52, 54, 90, 92, 94. Всего 15 пар.2-й способ. Изобразим таблицу вариантов:

     

    0

    2

    4

    1

    10

    12

    14

    2

    20

    22

    24

    4

    40

    42

    44

    5

    50

    52

    54

    9

    90

    92

    94

    Всего  чисел.
ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯПусть объекты А и В не зависят друг от друга. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.В теории вероятностей понятие выборки обобщается. Вместо него используют понятие испытание. Поэтому полезно знать правило умножения и на «языке» теории вероятностей.ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ:Чтобы найти число всех возможных исходов проведения двух независимых испытаний А и В, надо перемножить число всех исходов испытания А и число всех исходов испытания В.Замечание: Независимость событий А и В означает, что в такой паре (a,b) возможны абсолютно все комбинации исходов этих испытаний: при любом выборе «координаты» a в качестве «координаты» b можно выбрать любой исход события В.3-й способ решения примера 1: Испытание А состоит в выборе первой цифры числа, и у него имеется 5 возможных исходов, а испытание В состоит в выборе второй цифры, и у него имеется 3 возможных исхода. Так как выбор первой цифры независим от выбора второй, то по правилу умножения, всего получается  исходов.Ответ: 15.Пример 2.Сколько может быть различных комбинаций выпавших граней при бросании двух игральных костей?Решение:На первой кости может быть: 1,2,3,4,5 и 6 очков, т.е. 6 вариантов (исходов). На второй — 6 вариантов. Бросают и первую, и вторую, значит, применяем правило умножения. Всего:  вариантов.Ответ: 36.Пример 3.Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?Решение:Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание на 0 из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4! - 3! = 24 – 6 = 18Ответ: 18.Пример 4.Сколько всего исходов в опыте бросания двух монет одновременно?Решение:При бросании первой монеты возможны два исхода (орел или решка), при бросании второй монеты имеем тоже два исхода (орел или решка). По правилу умножения: .Ответ: 4.Пример 5.Сколько всего исходов, если бросают одну и ту же монету два раза?Решение:При бросании первый раз у монеты возможны два исхода (орел или решка), при бросании второй раз у монеты имеем тоже два исхода (орел или решка). Тогда .Ответ: 4.Пример 6.Имеется 9 различных книг, 4 из которых — учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?Решение:Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р6 =6!способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 = 4! перестановок учебников. По правилу умножения независимых событий искомое число способов расположения книг на полке равно произведению .Ответ: 17 280.Пример 7.У Пети есть 7 монет по 1 рублю и 3 монеты по 2 рубля. Петя случайным образом выбирает 1 монету номиналом 1 рубль и 1 монету номиналом 2 рубля. Сколькими способами он может это сделать?Решение:Для начала выясним, сколькими способами Петя может выбрать 1 монету из 7 имеющихся номиналом 1 рубль:.Аналогично, найдем число способов выбрать 1 монету номиналом 2 рубля из имеющихся 3 монет: .Теперь, согласно закону умножения, найдем общее число способов: .Ответ: 21.Пример 8.В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?Решение:Всего в корзине n = 8 белых шаров, из которых надо выбрать k = 2 шара. Это можно сделать C82 = … = 28 различными способами.Кроме того, в корзине имеется n = 12 черных шаров, из которых надо выбрать опять же k = 2 шара. Число способов сделать это равноC122 = … = 66.Поскольку выбор белого шара и выбор черного — события независимые, общее число комбинаций считается по правилу умножения:28 · 66 = 1848. Как видим, вариантов может быть довольно много.Ответ: 1848.Пример 9.В 10 «Б» классе в среду 7 уроков: алгебра, геометрия, литература, физкультура, русский язык, английский, биология.
    А) сколько можно составить различных вариантов расписания на среду?Б) В скольких расписаниях физкультура будет последним уроком?В) В скольких вариантах расписания естественно-математические и гуманитарные предметы будут идти блоками, разделенными уроком физкультуры?
Решение:
    А) Каждое возможное расписание задает нумерацию семи названных предметов числами 1 2 3 4 5 6 7 в соответствии с порядковым номером урока. Таких нумераций всего 7! = 5040.Б) 6 уроков (кроме физкультуры) надо распределить по номерам 1 - 6. Всего имеется 6! =720 вариантов.В) Физкультуру следует поставить 4-м уроком. Расписание будет составлено, как только мы проведем следующие три независимых испытания.
      Во-первых, выбор блока (1-й - 3-й или 5-й – 7-й уроки) для гуманитарных предметов. Тут возможны 2 исхода: поставить этот блок до урока физкультуры или после него. Алгебра, геометрия и биология автоматически окажутся в другом блоке.Во-вторых, выбор порядка гуманитарных предметов в уже выбранном блоке: Р3 = 3! = 6 различных перестановок.В-третьих, следует посчитать и все перестановки для естественно-математических предметов — их тоже 6. По правилу умножения получаем: 
Ответ: 72.Пример 10.Собрание из 80 человек выбирает председателя, секретаря и трех членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?Решение:Председателем может быть любой из участников собрания — 80 вариантов. Если председатель выбран, секретарем может оказаться любой из оставшихся 79 человек — 79 вариантов. По правилу умножения получим ( в предположении независимости выбора секретаря и председателя), что выбор председателя и секретаря осуществляется  способами.Если испытание А — выбор председателя и секретаря — завершено, то следует заняться испытанием В — выбором трех членов комиссии из оставшихся 78 участников собрания. Редакционную комиссию выбирают списком, т.е. порядок отбора не имеет значения. Сделать это можно С783способами. Имеем: . Поскольку А и Впредполагаются независимыми, применим правило умножения:  способов.Ответ: 480 800 320.Пример 11.Сколько существует всего исходов, если друг за другом из колоды вынимают три карты, возвращая карту обратно (выбор с возвращением).Решение:Для первой карты возможно 36 возможностей выбора. Когда первую карту вытащили, то положив ее обратно, в колоде стало снова 36 карт, значит для второй карты тоже 36 возможных исходов. Для третьей карты все то же самое. По правилу умножения имеем n = 36 · 36 · 36 = 46 656.Ответ: 46 656.Пример 12.Из 3-х экземпляров учебника алгебры, 7-ми экземпляров учебника геометрии, 6-ти экземпляров учебника физики надо выбрать один комплект, содержащий все три учебника по одному разу. Сколькими способами это можно сделать?Решение:Пусть А — «выбор 1 учебника алгебры», N(A)=3, В — «выбор 1 учебника геометрии», N(B)=7, С — «выбор 1 учебника физики», N(C)=6. Применяя правило умножения, получим: 3·7·6=126 способов.Ответ: 126.ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ:Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то
  1. выбрать либо А, либо В можно (m + n) способами, если А и В не имеют общих элементов.
  2. выбрать либо А, либо В можно (m + n – d) способами, если А и В имеют d общих элементов.
Другими словами, при объединении взаимоисключающих действий число их комбинаций складывается.Если правило умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в правиле сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно.Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» — это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.Аналогично, события «Выбранный наугад шар — белый» и «Выбранный наугад шар — черный» также являются взаимоисключающими.Можно сказать, что закон сложения — это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, закон умножения — это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.Пример 13.В коробке находится 10 шаров: 3 белых, 2 черных, 1 синий и 4 красных. Сколькими способами можно взять из ящика цветной шар?Решение:Цветной шар — это синий или красный. Выбрать синий можно одним способом, а выбрать красный шар — 4 варианта, поэтому по правилу сложения: 1 + 4 = 5 способов.Ответ: 5.Пример 14.Из 20 вопросов к экзамену ученик 12 выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене будет три вопроса.
    а) Найти количество возможных вариантов билета.б) Сколько из них тех, в которых ученик знает все вопросы?в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство вопросов?
Решение:
    а) Порядок вопросов в билете не важен. Поэтому возможны  вариантов билета.б) Тут все три вопроса надо выбирать из тех 12, которые выучил ученик: .в) Билет подобного типа составляется так: следует выбрать независимо друг от друга по одному вопросу – из блока выученных 12 вопросов, из блока тех 5-ти, что он не смотрел и из оставшихся 3-х вопросов. По правилу умножения получим: 12·5·3 = 180.г) Большинство вопросов из трех – это два или три. Выбрать два из 12 выученных вопросов и один из оставшихся 8 вопросов можно (по правилу умножения)  способами. А билеты, в которых все вопросы выучены, уже посчитаны в пункте б), их всего 220. В итоге, применяя правило сложения, получим 528 + 220 = 748 билетов.
Ответ: а) 1140, б) 220, в) 180, г) 748.Пример 15.Из класса нужно выделить одного дежурного, мальчика или девочку. Сколько существует способов для выбора дежурного, если в классе 22 девочки и 18 мальчиков?Решение:Выбрать одну девочку из 22 мы можем 22 способами, а одного мальчика из 18 можно 18 способами. Тогда выбрать одного дежурного мальчика или девочку можно 18 + 22 = 40 способами.Ответ: 40.Пример 16.В классе из 25 человек 19 красивых и 13 умных. Все дети являются или (и) красивыми, или (и) умными. Сколькими способами можно выбрать 5 человек среди красивых и умных?Решение:Пусть Х – количество и красивых и умных, тогда применим 2-ю формулу сложения: 25 = 19 + 13 – Х, откуда найдем Х = 32 – 25 = 7 человек и красивых и умных. Порядок не важен, тогда 

Форма входа

Логин:
Пароль:

Информация

Bost-Mix .