то для корней должно выполняться условие
(при этом 
, и условие 
отдельно ставить не требуется). Еще один способ обнаружить посторонние корни — проверка всех найденных корней подстановкой их в первоначальное уравнение.Пример 1.Решить уравнение: 
.РешениеКорни должны удовлетворять условию 4х - 8 ≥ 0, то есть х ≥ 2. Возведем обе части в квадрат:
— посторонний корень.Ответ: х = 3.Пример 2.
.Поскольку неизвестное входит в подкоренное выражение и в рациональную часть уравнения в виде одной и той же комбинации (x2 - 7х), можно сделать замену: 
, тогда x2 - 7х = t2 - 19, и t определяется из уравнения: 2t + t2 - 19 + 4 = 0, t2 + 2t — 15 = 0, t1 = 3, t2 = -5 < 0 — не соответствует условию на знак t.Обратная замена: 
Ответ: х = 2, х = 5.Комментарий. Замена переменной очень полезна при решении иррациональных уравнений. Часто с ее помощью удается избежать необходимости возведения в квадрат.Пример 3.Решить уравнение: 
.РешениеПодкоренные выражения — взаимно обратные дроби, поэтому замена 
приводит к уравнению: 
Случай 1. 
Случай 2. 
Ответ: 
Комментарий. Следует обратить внимание на то, что в некоторых заданиях нет необходимости в проверке корней или задании каких-либо ограничений: значения х определяются из условия, что корень принимает некоторое неотрицательное значение.Пример 4.Решить уравнение: 
.РешениеПерепишем уравнение в виде: 
и возведем обе части в квадрат, не задавая никаких ограничений: проще будет в конце работы проверить получившиеся корни:
Еще раз возведем в квадрат обе части полученного равенства:
.Проверка.
— корень уравнения.
— 
— не корень уравнения.Ответ: х = 16.Пример 5.Решить уравнение: 
.В этом уравнении замена 
поможет ограничиться только одним возведением в квадрат:
Ответ: 
.Пример 6.
.РешениеОДЗ задается условием: 
. Запишем уравнение в виде: 
— посторонний корень.
,
(корень первого уравнения х = 0 не удовлетворяет второму условию). Итак, единственный корень исходного уравнения — х = 11.Ответ: х = 11.Рассмотренные примеры решаются просто, но в более сложных случаях обязательное соблюдение условия равносильности преобразований может привести к серьезным техническим трудностям, сделать решение слишком ветвящимся и громоздким. Поэтому, не будем строго запрещать применение любых неравносильных преобразований. Все ли они одинаково опасны? Понятно, что более опасны неравносильные преобразования, приводящие к потере корней. В большинстве случаев потерянные корни отыскать весьма трудно (заметим также, что малоопытный решающий, а абитуриент часто именно таков, может вовсе не заметить факта потери корня и не будет пытаться его отыскать, хотя это, может быть, и получилось бы).Итак, на не равносильные преобразования, приводящие к потере корней, мы накладываем строгий и категорический запрет. При решении уравнений, таким образом, мы не будем применять деление обеих частей уравнения на выражение, обращающееся в ноль в области определения уравнения, и не будем применять преобразования, приводящие к сужению области определения уравнения.Что же касается неравносильных преобразований, приводящих к появлению посторонних корней, то такие преобразования вполне допустимы. Но при этом, обязательным заключительным этапом решения должна быть проверка всех найденных в итоге корней. Заметим, что тактика проверки зависит непосредственно от класса уравнений (рациональные, иррациональные, логарифмические и т.д.), ибо в каждом случае свои причины появления посторонних корней. В этой связи, тактика проверки конечно должна быть гибкой, но можно пользоваться и универсальным приемом: подстановка всех корней итогового уравнения в исходное с последующим вычислением или «прикидкой».Пример 7.Решим уравнение: 
Комментарий. При решении этого уравнения будем придерживаться стратегии, допускающей неравносильные преобразования при обязательной проверке корней. Решая уравнения вида 
, следует перед возведением в квадрат уединить один из корней, перенеся его в правую часть уравнения. Уединить можно любой из корней, и в большинстве случаев, все равно какой. Но иногда уединение определенного корня приводит к более простому решению, чем уединение других. Поэтому всегда следует анализировать ситуацию в указанном аспекте.РешениеВ нашем уравнение сумма коэффициентов при х в первом и третьем подкоренных выражениях равна коэффициенту при хво втором подкоренном выражении. Поэтому уединить целесообразно именно корень 
. Полученное после возведения в квадрат уравнение будет содержать х только под корнем. Если бы мы уединяли любой из других корней, то после возведения в квадрат получали бы уравнения, содержащие х и под корнем, и вне корня, что менее удобно для последующего решения.Итак, имеем:
Комментарий. При решении иррационального уравнения мы осуществляем так называемую рационализацию уравнения
, т.е. избавляемся от радикалов (корней). Но, избавляясь от корней, мы избавляемся и от ограничений на подкоренные выражения: 
Иными словами, происходит расширение области определения уравнения. Это причина появления посторонних корней. Поэтому все корни итогового уравнения, полученного в ходе решение, следует проверить на принадлежность области определения исходного уравнения. В нашем случае область определения исходного уравнения задается системой:
Решив эту систему, получаем область определения уравнения:
Очевидно, что 
— посторонний корень, появившийся в процессе решения из-за применения неравносильных преобразований, приведших к расширению области определения уравнения, а x2 = 0 —– принадлежит области определения уравнения и является его корнем (что легко проверить непосредственной подстановкой).Ответ: х = 0.Комментарий. Но единственная ли причина появления посторонних корней при решении иррациональных уравнений с радикалами четной степени — расширение области определения исходного уравнения? Не кроется ли в возведении обеих частей уравнения в четную степень еще одна, менее очевидная, но не менее опасная в смысле ошибки, причина появления посторонних корней?