При решении логарифмических уравнений, так же, как в случае иррациональных уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — расширение области определения исходного уравнения. Поэтому и проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо непосредственно по предварительно найденной области определения, либо по условиям её задающим (подстановкой в соответствующую систему неравенств). Заметим, что иногда удобно осуществить проверку и непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение. Это, конечно же, допустимо. Естественно, что при решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований. Далее мы рассмотрим примеры решения разного рода.Расширение области определения при решении логарифмических уравнений связано, как правило, с двумя обстоятельствами:
Область определения левой части этих формул может быть шире области определения правой их части.Заметим, что применение этих формул «слева — направо» вообще следует избегать, т.к. это может привести к сужению области определения уравнения и потере корней.Пример 1. Решим уравнение Решение.Будем представлять правую часть уравнения последовательно в виде логарифмов с основаниями 4, 2 и 3 и проводить преобразование потенцирования:Проверим найденное значение непосредственной подстановкой в исходное уравнение:Мы пришли к верному числовому равенству. Таким образом, - единственный корень данного уравнения.Ответ: 41.Пример 2. Решим уравнениеРешение.Представим 1 как и преобразуем левую и правую части уравнения исходя из свойств логарифмов:потенцируя уравнение, получаем:.Решим это рациональное уравнение:Осуществим проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями: т.е. область определения: Оба корня, очевидно, принадлежат области определения. Таким образом, корни данного уравнения: Ответ: .Пример 3. Решим уравнение: Решение.Пусть тогда получаем систему уравнений:Корни первого уравнения системы: Тогда исходное уравнение равносильно совокупности: т.е. Потенцируя полученные уравнения приходим к выводу, что х = 9 или х = Оба этих значения являются корнями данного уравнения, поскольку его область определения задается условием х + 1 > 0, т.е. х > -1.Ответ: 9; Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то следует привести их к одному основанию, воспользовавшись формулами перехода к новому основанию логарифма:
Пример 4. Решим уравнение: Решение.В данном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2:Последнее уравнение равносильно системе: Корни первого уравнения системы Таким образом, имеем совокупность уравнений: которая равносильна системе Откуда очевидно, что - единственный корень данного уравнения.Заметим, что применение формул перехода к новому основанию логарифма, как правило, приводит к изменению области определения уравнения. Поэтому, следует анализировать в ходе решения, как возможность, появления посторонних корней, так и возможность потери корней.Ответ: 0,5.