Меню

bost-mix@at.ua

Параллелепипед и куб

Параллелепипед и куб
Основные теоретические сведенияПараллелепипедом называется призма, у которой основаниями служат параллелограммы.Прямым параллелепипедом называется параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основаниям.Прямоугольным параллелепипедом называется прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники. Длины трёх ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общий конец, называют его измерениями.Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.Кубом называется прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.Прямоугольный параллелепипед (a, b, c — его измерения, d — диагональ):Sб = Рсеч·Н, Sполн = 2(ab + ac + bc)V = Sосн ·H, V = abc, d2 = a2 + b2 + c2.Куб: V = a3, Sполн = 6а2.Свойства прямоугольного параллелепипеда и куба:
    1) Все его грани — прямоугольники. Противоположные грани — равные прямоугольники.2) Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.3) Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам.4) Все диагонали параллелепипеда равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.5) Точка пересечения диагоналей является центром описанного шара.6) Квадрат диагонали AK прямоугольного параллелепипеда равен квадратному корню из суммы квадратов длин его измерений, то есть АК2 = a2 + b2 + c2.7) Объем любого прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его измерений, то есть V = abc.8) Площадь боковой поверхности S=2ab+2bc+2ac.9) Объем куба V =a3.10) Свойство диагоналей куба: диагональ MC куба ABCDMNKP перпендикулярна плоскостям (ANP) и (KBD) и делится этими плоскостями на три равных отрезка: MQ=QE=EC.
Пример 1.Ребро куба равно 3. Найти расстояние от вершины куба до его диагонали, соединяющей две другие вершины.Решение.Найдем расстояние Н от вершины куба А до диагонали ВС = D.Из АКВ: d2 = a2 + a2 = 9 + 9 = 18, .Из АВС: D2 = d2 + a2 =18 + 9 = 27, .Из прямоугольного АВС: Ответ: .Пример 2.Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Длина параллелепипеда равна 18 м, что в 2 раза больше его ширины и на 8 м больше его высоты. Найти ребро куба.Решение.Измерения параллелепипеда: ширина 18/2=9 м, высота 18-8=10 м, длина 18 м.S = 9·10·2 +9·18·2+10·18·2=180+324+360=864, 864/6=144, a2=144, a=12 м - ребро куба.Ответ: 12.Пример 3.Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.Решение.Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей 6 граней куба со стороной 1, четырех граней параллелепипеда со сторонами 1 и 0,5 минус 2 площади основания вырезанной призмы:S = 6 + 4(0,5·1) – 2(0,5·0,5) = 7,5.Ответ: 7,5.Пример 4 .Дан прямоугольный параллелепипед. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен ?. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен ?. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ основания равна k.Решение.АВС — прямоугольный:AB = k·cos, BC = k·sin. Периметр основания Росн = 2k(cos + sin).Прямая АВ перпендикулярна плоскости грани ВСС1В1, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым ВС и ВВ1этой плоскости. Поэтому , т.е. ВАС1 — прямоугольный, и ВС1 = АВ·tg = kcostg.Из прямоугольного ВСС1:Следовательно, Sб = Росн·CC1,Ответ: Пример 5.В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда — 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.Решение.Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора сторона основания см, поэтому периметр ромба равен 40 см.Боковая поверхность Sб = Росн·CC1 = 40 · 8 = 320 см2.Площадь ромба Sромба = 2SABC = 2·(AC·OB)/2 = AC·OB =16· 6 = 96 см2.Площадь полной поверхности Sпп = 2Sромба + Sб = 2·96 + 320 = 512 см2.Ответ: 512.Пример 6.Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Определите высоту параллелепипеда, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро равно 5 см.Решение.Поскольку одна из вершин основания параллелепипеда (обозначим ее F) одинаково удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда, то вместе с диагональю нижнего основания (обозначим ее AC) она образует равнобедренныйAFC. AF = FC по условию. Одновременно, BF — это ребро параллелепипеда.Таким образом, в равнобедренном треугольнике AFC стороны равны следующим величинам: AF = FC = 5 см , AC = 8 см.Высота FK равнобедренного AFC одновременно, будет являться высотой параллелепипеда. Кроме того, высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам. Откуда, по теореме Пифагора высота будет равна:FK2 + (AC/2)2 = FC2FK2 + 16 = 25FK2 = 9FK = 3 смОтвет: 3.

Форма входа

Логин:
Пароль: