Видим, что всего данных чисел 43 = 64, где 4 — количество элементов исходного множества, а 3 — число выбранных элементов.Данный пример является иллюстрацией к следующему понятию:Размещениями из n элементов по k называются упорядоченные выборки, каждое из которых содержит k элементов из nданного множества. Размещения отличаются друг от друга либо порядком элементов, либо самими элементами.Если некоторые элементы данного множества могут повторяться в размещении, то такие размещения называютсякортежами или размещениями с повторениями. Число элементов в размещении называют его длиной.Размещениями с повторениями называют упорядоченную выборку, состоящую из n не обязательно различных элементов.Пусть дано множество M = {a1, а2, а3, ..., аn }. Сколько кортежей длины k можно составить из n элементов этого множества?Решение:Первый элемент каждого кортежа мы можем выбрать n способами, записав на первое место любой из n элементов. Второй элемент тоже можно выбрать n способами и т.д. Значит, общее число кортежей из множества n элементов, по kэлементов в каждом, будет равно nk. Число кортежей из n по k с учетом их порядка обозначается 
, и называютчислом размещений с повторениями из n элементов по k: 
.В примере 1: 
.Перестановки с повторениями.Пример 2.Сколько четырехзначных чисел можно составить из 4 цифр: 1, 2, 3, 4?Решение:Перечислим с помощью схемы все возможные числа:
Видим, что всего данных чисел 44 = 256.Данный пример является иллюстрацией к следующему понятию, которое является частным случаем, когда наше основное множество состоит из различных элементов:Размещения с повторениями из n не обязательно различных элементов основного множества по n принято называть перестановками с повторениями. Число перестановок с повторениями обозначают 
.Заметим, 
. Общее число перестановок с повторениями из n элементов равно 
.В примере 2: 
.Пример 3.Сколько семизначных чисел можно составить из 7 цифр: 1; 1; 2; 2; 2; 3; 4?Решение:Заметим, что «1» повторяется 2 раза, «3» — три раза, а «3» и «4» — по одному. На этот случай существует другая формула перестановок с повторениями.В общем случае, когда в нашем основном множестве какие-то элементы могут повторяться используют понятие:Перестановкой с повторениями состава (k1,k2,…,kn ) из букв (a1,a2,…,an ) называют любой кортеж длины k = k1 + k2 +…+ kn , в который буква a1 входит k1 раз, буква a2 входит k2 раз,…, буква an входит kn раз. Число таких перестановок обозначают P(k1,k2,…,kn ) и вычисляют по формуле:
В примере 3: 
Размещения без повторений (Размещения).Пример 4.Сколько трехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из 4 цифр: 1, 2, 3, 4?Решение:Перечислим с помощью схемы все возможные числа:
Видим, что всего данных чисел 4·3·2 = 24.Данный пример является иллюстрацией к следующему понятию:Пусть множество M = {a1, а2, а3, ..., аn }. Сколько размещений без повторения элементов, по k элементов в каждом, можно составить из элементов этого множества?Решение:На первое место можно записать любой элемент из М. Значит, имеем n возможностей. На второе место — любой элемент, кроме выбранного на первое место. Итак, при каждом выборе первого элемента для выбора второго имеем n-1возможностей, т.е. для выбора двух элементов имеем n(n— 1) возможностей. При каждом выборе первых двух элементов для выбора третьего элемента имеем n— 2 возможностей и т.д. На последнее k-е место можно записать любой элемент, кроме выбранных k—1 элементов на предыдущие места, т.е. для его выбора имеем n — (k — 1) = n — k + 1возможностей. Следовательно, всего размещений из n по k элементов будет
.Полученное выражение состоит из k последовательных натуральных множителей, наибольший из которых равен n. Умножив и разделив полученное выражение на (n - k)! получим:
Размещениями называют упорядоченную выборку k элементов, из n различных элементов основного множества.Число всех выборов k элементов из n различных элементов данного множества с учетом их порядка обозначают Аnk и называют числом размещений из n элементов по k.В примере 4: 
.Перестановки без повторений (Перестановки).Пример 5.Сколько четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из 4 цифр: 1, 2, 3, 4?Решение:Перечислим с помощью схемы все возможные числа:
Видим, что всего данных чисел 4·3·2·1 = 24.Данный пример является иллюстрацией к следующему понятию:Размещения из n элементов по n принято называть перестановками. Иначе, перестановки — это упорядоченные множества из n различных элементов основного множества по n. Перестановки отличаются друг от друга только порядком элементов. Число перестановок принято обозначать Рn. Общее число перестановок из n элементов равно Pn = n!В примере 5: P4 = 4! = 4·2·3·1 = 24.Неупорядоченные выборки(Одновременный выбор)Сочетания без повторений (Сочетания).Пример 6.Сколько трехэлементных подмножеств, различающихся хотя бы одним элементом друг от друга и без учета порядка в подмножестве, можно составить из 4 цифр: 1, 2, 3, 4?Решение:
Перечислим все полученные подмножества:(1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4).Видим, что всего получилось 4 подмножества.Данный пример является иллюстрацией к следующему понятию:Сочетания. Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, каждое из которых содержит k элементов из данного множества n элементов и отличается от других хотя бы одним элементом. В сочетаниях нас интересуют только сами элементы множества и не интересует их порядок. Важно, какие конкретно элементы множества входят в каждое соединение.Число сочетаний, т.е. число всех различных подмножеств длины k из данного множества, содержащего n элементов, обозначается Сnk . Легко видеть, что если мы возьмем все сочетания из n по k и в каждом из них упорядочим элементы всеми возможными способами, т.е. из каждого сочетания получим все возможные перестановки, то получим все размещения из n элементов по k. Значит, Ank = Сnk·Pk.Отсюда 
или 
. Иначе 
В примере 6: 
.Пример 7.Сколькими способами можно выбрать k предметов из n? Например:
б) наугад зачеркивают 6 чисел из 49:
в) случайно отбирают трех человек из 25:
.
где n – количество необязательно различных элементов основного множества, k – количество выбираемых.Пример 8.Сколько будет костей в игре домино, если использовать, только четыре цифры 1, 2, 3, 4?Решение:Используем формулу сочетаний с повторениями:
Ответ: 10.Задачи для тренировкиПример 9.Сколько четырехзначных чисел можно составить из 9 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?Решение:Цифры в числах могут повторяться, и число зависит от порядка цифр в его записи. Значит, это размещения с повторениями, т.е. кортежи. Их число 
Ответ: 6561.Пример 10.В чемпионате участвует 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены три различные медали?Решение:Это размещения без повторения, т.к. одна команда не может занять два или три места сразу. А123 = 12·11·10 = 1320.Ответ: 1320.Пример 11.В семье 6 человек. За столом 6 стульев. В семье решили каждый вечер рассаживаться на эти 6 стульев по-новому. Сколько дней члены семьи смогут делать это без повторений?Решение:Одного человека мы можем посадить только один раз. Значит, имеем перестановки без повторений. Одно размещение от другого может отличаться только порядком размещения людей, т.е. имеем перестановки 6 элементов: P6= 6! = 720.Ответ: 720.
