Сложение | Вычитание | Умножение | Деление |
|
|
|
|
|
|
|
|
, справедливы следующие пропорции:
|
|
| |
| |
|
|
где x1 и x2 — корни уравнения |
|
| ||
D > 0 | D = 0 | D < 0 |
|
| Среди действительных чисел корней нет |
| ||
D0 > 0 | D0 = 0 | D0 < 0 |
|
| Среди действительных чисел корней нет |
сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену:
Если задано квадратное уравнение в общем виде 
, то делением уравнения на можно свести к приведенному, где 
,Действия со степенями:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| пусть c > 0, тогда |
|
| пусть a > 0 b > 0, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.:
Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:
Второе требование — неизменность областей допустимых значений — не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь 
на разность a - 1 и написав равенство 
, мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что a ≠ 1, т.е. произошло изменение области допустимых значений величины a. Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.Порядок выполнения действий:
; a — целое число, b — натуральное число. Две дроби 
равны, если a * d = b * c. Основное свойство дробей: 
, где c — любое отличное от нуля действительное число.В пропорции a и d — крайние члены, b и c — средние члены.Основное свойство пропорции: a * d = b * c (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом 
. По определению модуль действительного числа a является неотрицательным числом:
При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень 
называется арифметическим лишь в том случае, если число a положительно или равно нулю, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство 
верно лишь при условии, что x ≥ 0. При x < 0 нужно писать так:
Аналогично равенство 
верно лишь в случае, если a ≥ b. При a < b оно неверно и нужно писать 
. Оба случая можно охватить такой записью: 
.Пример 1.Упростите выражение 
.РешениеПрименим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): 
.Ответ: 9m7.Пример 2.Сократив дробь 
вычислите ее значение, если 
.РешениеДля того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель этой дроби. Данное тождественное преобразование можно сделать разными способами.Способ 1Попробуем выполнить группировку в числителе, записав его следующим образом:3m2 - 3mn + mn- n2 = 3m(m - n) + n(m - n) = (3m + n)(m - n).Способ 2Составим и решим уравнение 3m2 - 2mn - n2 = 0 как квадратное уравнение относительно m, считая n параметром.Получаем, что:
.Тогда 
Аналогично разложим на множители знаменатель дроби:6m2 - 7mn + n2 = (6m - n)(m - n).Следовательно, есть возможность сокращения дроби на множитель (m - n), т.е.:
.Из условия следует, что 
(воспользовались свойством пропорции). Значит, 
.Ответ: 
.Комментарий. При тождественных преобразованиях иррациональных выражений в ряде случаев удобно выполнить замену переменных таким образом, чтобы для новых переменных получить рациональное выражение (другими словами, исключить иррациональность). При этом лучше просматриваются возможности для применения формул сокращенного умножения и другие способы упрощения рассматриваемого выражения.
и 
, 
