Рациональные неравенства
V 0,где x1, x2 , x3, …, xn ϵ R; ?1, ?2, ?3,…, ?n ϵ N и V — любой из знаков неравенства > , < , ≥ , ≤ .Если данное неравенство не соответствует указанному виду, то его необходимо привести к этому виду теми или иными равносильными преобразованиями, и лишь затем применять метод интервалов. Назовем указанный вид неравенства стандартным для решения методом интервалов.Введем еще два термина. Пусть 
— множитель, входящий в неравенство, стандартное для решения методом интервалов. Если показатель степени ?i — нечетное число, то точку х = xi будем называть простой. Если показатель степени ?i — четное число, то точку х = xi будем называть двойной.Теперь сформулируем алгоритм метода интервалов.Пусть дано неравенство вида, стандартного для решения методом интервалов. Для его решения:- 1) отметим на числовой прямой точки, соответствующие числам x1, x2, x3,…, xn, разбив тем самым всю числовую прямую на промежутки (интервалы); причем, если знак неравенства строгий, то точки отмечаются выколотыми, если знак неравенства нестрогий, то точки отмечаются сплошными;2) на каждом из полученных промежутков выражение
будет сохранять свой знак постоянным; расставим эти знаки пользуясь правилом чередования знаков:- а) в крайнем правом интервале всегда знак «плюс»;б) при переходе через простую точку знак меняется, на противоположный;в) при переходе через двойную точку знак сохраняется;
Подведем итог. Для применения метода нужно преобразовать неравенство так, чтобы в правой его части стоял 0, а левая была произведением нескольких множителей или дробью, числитель и знаменатель которой разложены на множители. Затем находятся корни каждого множителя (то есть от решения неравенства вы переходите к решению уравнений), и среди них выделяются такие, в которых ни один из имеющихся множителей не меняет знак, или меняет знак четное количество множителей. В дальнейшем такие корни, если они найдутся, мы будем называть кратными (хотя это не совсем точно). Для окончательного решения неравенства остается нанести найденные корни на числовую прямую, найти знак левой части неравенства только на одном интервале, ограниченном полученными точками, и расставить знаки на остальных интервалах, меняя их при переходе через простой корень и не меняя при переходе через кратный.Пример 1.Решим неравенство: 
Решение.Приведем данное неравенство к виду стандартному для решения методом интервалов:
Построим разбиение числовой прямой на промежутки.
Заметим, что масштаб в данном случае соблюдать совсем необязательно, но отдельные принципиальные детали, относящиеся к уровню общей графической культуры, соблюдать конечно следует. Так, точка -3 должна быть изображена более удаленной от нуля, чем точка 
, а расстояние между точками 
и -3 должно быть значительно меньше, чем расстояние между точками и 6 и т.д.) Расставим знаки в промежутках, используя правило чередования.
Из рисунка видно решение неравенства: 
Ответ: Пример 2.Решим неравенство: 
.Решение.Раскроем скобки; имеем:
Так как x2 + х + 1 > 0 при всех х и x2 + 1 > 0 при всех х, то получаем неравенство вида, стандартного для решения методом интервалов и равносильное исходному неравенству:
Построим разбиение числовой прямой на промежутки и расставим знаки по правилу чередования.
Таким образом, решение неравенства: 
Ответ: Комментарий. На материал, следующий ниже, советуем обратить особое внимание, поскольку в школе ему редко уделяют должное внимание.Значительно содействуют пониманию сущности метода интервалов, а значит и лучшему его применению упражнения наконструирование неравенств по заданным объединениям промежутков — их решениям. Рассмотрим пример. Рассмотрим пример 3.Пример 3.Составим неравенство, решение которого (-?, -10) U [-7, -4] U (-4, 2) U {6} U [11, +?].Решение.Прежде всего, отметим все необходимые точки на числовой прямой.
Теперь произвольно выберем знак составляемого неравенства (ясно, что этот знак нестрогого неравенства, поскольку на нашем рисунке есть сплошные точки) и в соответствии с данным решением неравенства расставим знаки. Итак, пусть знак нашего неравенства ≥ , тогда имеем.
Из рисунка видно, что точки х = -10, х = -7, х = 2 и х = 11 — простые точки, а точки х = -4, х = 6 — двойные точки. Кроме того, поскольку на рисунке есть и выколотые и сплошные точки, то составляемое неравенство — дробное рациональное. Учитывая все эти выводы, получаем, например:
или, если перемножить скобки:
Ответ: Рациональные неравенства в работах ЕГЭ часто «усложнены модулями». Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля, не входят явно в школьную программу по математике, часто предлагаются школьными учителями как задания повышенной сложности. В итоге, вызывая у абитуриентов страх и трепет, такие задания многими абитуриентами просто пропускаются, хотя вполне могли быть выполнены. Для этого необходимо не так много:- 1) четко знать определение модуля;2) понимать суть приема решения уравнений и неравенств, основанного на одновременном раскрытии всех модулей (причем, здесь достаточно конкретных примеров);3) помнить о методе введения новой переменной.
Модули, входящие в уравнение или неравенство раскрываются по определению и в дальнейшем уже решаются уравнения и неравенства, не содержащие модуля. Заметим, что абитуриенты часто вместо равенства, указанного выше, применяют равенство:
Понятно, что оно справедливо лишь в случае f(x) = x. В общем случае это равенство неверно. Следует помнить об этом и не допускать этой распространенной среди абитуриентов ошибки.Решение дробно-рациональных уравнений нередко сводится к решению обычных квадратных уравнений, но с учетом ограничений на допустимые значения неизвестного. В частности, из ОДЗ исключаются те значения х, при которых хотя бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение, обращается в 0.Основной прием решения модульных уравнений и неравенств — раскрытие модуля с использованием его определения (|a| = a при a ≥ 0 и |a| = -a при a < 0). Для этого обычно рассматривают отдельно два случая: случай, когда подмодульное выражение неотрицательно и когда оно отрицательно.Решение дробно-рациональных неравенствХочется сразу предостеречь вас от самой распространенной ошибки: умножения обеих частей неравенства на общий знаменатель. Если при разных значениях х знаменатель может менять знак, то избавляться от него нельзя. Почему? Потому что при умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, а на отрицательное — меняется на обратный. Поэтому, решая такое неравенство, вы должны учитывать знак не только числителя, но и знаменателя. Этапы решения дробно-рациональных неравенств можно описать так:- 1) перенести все слагаемые в левую часть неравенства;2) привести левую часть к наименьшему общему знаменателю;3) найти корни числителя и знаменателя полученной дроби; проверить, есть ли среди них кратные;4) решить неравенство методом интервалов с учетом кратных корней.
Решение.Данное неравенство равносильно системе:
Приведем первое неравенство системы к виду, стандартному для решения методом интервалов:
Построим разбиение числовой прямой на промежутки, учитывая второе неравенство системы, то есть, что х ≠ 3, х ≠ 7, х ≠± 4, и расставим знаки по правилу чередования:
Решение неравенства: 
Ответ: