В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения:
Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа< |
| ≤ |
| = |
| ≥ |
| > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— точки смены формул. Функция 
, определенная при всех 
, называется кусочно-линейной, если она линейная на каждом интервале 
, 
, 
, ..., 
, т.е.
, где обозначено 
, 
.Если к тому же выполнены условия согласования 
, то рассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывная кусочно-линейная функция называется такжелинейным сплайном.Функцию с рассматриваемом графиком можно задать и одной и тремя формулами:
Однако нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используя модули: 
. Оказывается, что и любую непрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулой вида
где числа 
, 
, ..., 
легко найти по графику данной функции.Заметим, что две ломаные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссами вершин 
, 
, ..., 
совпадают, если у них равны угловые коэффициенты всех «одноименных» звеньев и имеется общая точка. Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат одной точки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка 
берется за исходную.Отмеченный факт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейной функции, заданной своим графиком. Напомним, что 
равняется 
, если 
, и 
, если 
. Поэтому на каждом из промежутков 
, 
, ..., 
, на которые числовая прямая разбивается точками, функция, определяемая вышеобозначенной формулой, будет линейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициента соответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при после раскрытия всех модулей в выражении рассматриваемом на соответствующих этим звеньям промежутках, находим:
