Меню

bost-mix@at.ua

Системы уравнений

Системы уравнений
Из школьного курса известно, что два или более уравнений образуют систему, если они имеют общее решение.Решением системы двух уравнений называется пара чисел (x0; y0), которая каждое уравнение системы обращает в тождество. Решить систему – значит найти все ее решения.Далее рассмотрим на примерах несколько способов решения систем.
  1. Способ подстановки.Решим систему уравнений:Способ подстановки заключается в следующем:
      1) выражаем одно неизвестное через другое, воспользовавшись одним из заданных уравнений. Обычно выбирают то уравнение, где это делается проще. В данном случае нам все равно, какое из заданных уравнений использовать для нашей цели. Возьмем, например, первое уравнение системы, и выразим xчерез y: .2) подставим во второе уравнение системы вместо x полученное равенство: .
    Получили линейное уравнение относительно переменной y. Решим это уравнение, помножим это равенство на 2, чтобы избавиться от дроби в левой части равенства:Подставим найденное значение  в равенство, выражающее x, получим: .Таким образом, нами найдена пара значений , которая является решением заданной системы. Осталось сделать проверку.Проверка: 
  2. Способ уравнивания коэффициентов при неизвестных состоит в том, что исходную систему приводят к такой эквивалентной системе, где коэффициенты при x или y были одинаковы. Покажем, как это делается, на данном примере.Решим систему: 
      1) Для приравнивания коэффициентов, например при y надо найти НОК(3; 5)=15, где 3 и 5 —коэффициенты при y в уравнениях системы. Затем разделить 15 на 3 — коэффициент при y в первом уравнении, получим 5. Делим 15 на 5 — коэффициент при  — во втором уравнении, получаем 3. Следовательно, первое уравнение системы умножаем на 5. а второе на 3:2) Так как коэффициенты при y имеют противоположные знаки, складываем почленно уравнения системы:3) Для нахождения соответствующего значения y подставим значение x в любое исходное уравнение системы (обычно подставляют в то уравнение системы, где отыскание значения y проще). В исходной системе уравнения одинаковы по сложности, поэтому подставим значение x = 4 во второе уравнение, чтобы не делать лишней операции деления на -1: 
    Таким образом, найдена пара значений  которая является решением заданной системы.
Иногда задаются системы уравнений, где нет необходимости в уравнивании коэффициентов при неизвестных. Почленное сложение или вычитание уравнений системы приводит к простейшему решению.Например, решить систему уравнений: Складывая почленно уравнения заданной системы, получим:.Подставив вместо x значение 5 во второе уравнение исходной системы, находим соответствующее значение y: Таким образом, решением системы является Пример 1.Решим систему уравнений: Решение.Положим . Тогда придем к системе уравнений: Эту систему решим методом уравнивания коэффициентов. Для этого умножим второе уравнение системы на -2 и сложим с первым уравнением:Отсюда получаем, что , тогда Следовательно, имеем систему уравнений:  т.е. Полученную систему будем решать способом уравнивания коэффициентов. Здесь умножим второе уравнение системы на 3 и сложим с первым уравнением, получим:Получаем, что . Подставим найденное значение переменной x в одно из уравнений системы, найдем значение y. Получим ответ: При решении систем тригонометрических уравнений последние сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, либо к системе уравнений относительно аргументов или функций этих аргументов.Рассмотрим лишь некоторые типы тригонометрических уравнений и наиболее употребительные методы их решения.Решим систему: Складывая и вычитая уравнения системы согласно формулам преобразования произведения в сумму функции sin ?, получаем равносильную систему: Полученная система имеет решение в том случае, когда выполняются условия  и . А поскольку обе системы равносильны, то и исходная система имеет решения только при указанных условиях. Если эти условия выполнены, то  (*), где k и n – любые целые числа, а знаки выбираются произвольно.Пусть .Таким образом, формулы (*) определяют четыре серии решений:Решая эти системы, находим:Аналогично решается система: Пример 2.Решить систему: Решение.Сначала в первом уравнении системы перейдем от градусной меры к радианной: . Далее из первого уравнения системы выражаем y: . Тогда второе уравнение примет вид:  (**).Упростим правую часть полученного уравнения:Таким образом, уравнение (**) примет вид  откуда получаем, что Так как , то подставив значение , получим:Ответ: Пример 3.Решить систему: Решение.Область определения системы: Применяя способ подстановки, получаем:  (***) Далее решаем второе уравнение системы, имеем: . В результате упрощений получаем:  Теперь систему (***) заменим двумя системами:Решим каждую систему.Решение первой системы: Решение второй системы: Пример 4.Решить систему уравнений: Решение.Вычтем первое уравнение из второго и применим формулу .Случай 1: cos 4y = 1, тогда из второго уравнения , то есть cos 4x = 0. Получена система двух простейших уравнений:Случай 2: Решая полученную систему простейших уравнений, находим вторую группу корней:Еще раз напомним, что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр (решением будет каждая пара чисел, заданная полученными формулами, в которых мы можем задавать n и k любые целые значения, не обязательно одинаковые).Ответ: Комментарий. При решении показательно-логарифмических систем применяются как обычные методы решения систем (подстановка, замена переменных), так и приемы решения соответствующих уравнений. Если в системе присутствуют логарифмы, не забудьте об ограничениях на допустимые значения неизвестных. Если получившиеся неравенства трудны для решения (например, неравенства с двумя переменными), можно ограничиться подстановкой в них найденных решений.Пример 5.Решить систему уравнений: Решение.ОДЗ: x > 0, y > 0.Из первого уравнения можно сделать подстановку:Находим соответствующие значения у: у1 = 4 – 1 = 3, у2 = 4 – 3 = 1. Все найденные решения входят в ОДЗ.Ответ: (1; 3), (3; 1).

Форма входа