- BOST-MIX

Tригонометрические выражения.

Tригонометрические выражения. Часть 1

Внимание! Теоретический материал для кванта «Тригонометрические выражения. Часть 1» и кванта «Тригонометрические выражения. Часть 2» совпадает. Различаются только тесты и видеоматериалы.Тождественные преобразования тригонометрических выраженийЦель данного раздела — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).Основные формулы тригонометрииПеревод градусной меры угла в радианную и обратно.Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы:

.Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:

Формулы сложения.

Формулы двойных и половинных углов.

Формулы преобразования суммы в произведение:

Формулы преобразования произведения в сумму:

Формулы приведения:

φ	α
sin φ	- sin α	cos α	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α
cos φ	cos α	sin α	- sin α	- cos α	- cos α	- sin α	sin α	cos α	cos α
tg φ	- tg α	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α	ctg α	- ctg α	- tg α	tg α
ctg φ	- ctg α	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α	tg α	- tg α	- ctg α	ctg α

Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.Пример 1.Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.РешениеПрименим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции

.Так как по условию задачи cosα = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (

), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно,

.Ответ:

.Пример 2.Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.РешениеВоспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α * ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α * 0,2 = 1, откуда tg α = 5.Ответ: 5.Пример 3.Упростите выражения:

;

РешениеДанные задания — на применение формул сложения.

. Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что

3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда

5) Применим формулу «тангенс суммы», получим

Ответ:

.Пример 4.Вычислите:

;

Решение

1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда

2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем:

3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º . Следовательно,

. Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим:

. Окончательно получаем, что

5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º ). Тогда

. Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что

. Cледовательно,

Ответ:

.Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.Пример 5.Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:1) sin²α;2) sin⁴α + cos⁴α;3) sin⁶α + cos⁶α.Решение

1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:

sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.

Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:

1 - sin2α = 0,09, откуда:

sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.

2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.

Для этого сумму sin⁴α + cos⁴α представим в специальном виде:

sin⁴α + cos⁴α = (sin⁴α + 2sin²α cos²α + cos⁴α) - 2sin²α cos²α = (sin²α + cos²α)2 - 1/2 α sin²2α = 1 - 1/2 * 0,91 = 0,545.

Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.

3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin⁶α + cos⁶α можно представить в виде суммы кубов.

sin⁶α + cos⁶α = (sin²α)³ + (cos²α)³ = (sin²α + cos²α)(sin⁴α - sin²α cos²α + cos⁴α) = 1 * (0,545 – 1/4 * 0,91) = 0,3175.

Ответ:

1) 0,91;

2) 0,545;

3) 0,3175.

Логин:
Пароль:

Tригонометрические выражения.

Форма входа