РешениеПроверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):
, следовательно, 
тогда: 
раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:3tg α + 4 = 5tg α - 10, 2tg α = 14, получаем, что tg α = 7.Ответ: 7.Пример 7.Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и 
РешениеКак известно, 
. Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим: 
, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α< 0.В приведенной выше формуле выберем знак «минус»: 
Ответ: 
Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.Пример 8.Найти значение выражения: 
.Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.С целью сокращения дроби 
воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:
.Рассмотрим далее выражение 
. Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:
.Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: 
. Поэтому: 
Тогда 
.Окончательно получаем: 
Ответ: 1.Пример 9.Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10º sin50º = 1/2 (cos40º - cos60º ) = 1/2 cos 40º - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30º = 1/2, получаем: 
Ответ: 
Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.Пример 10.Упростить выражение: 
.Так как числитель заданной дроби имеет достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление 
:
.Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:
.Следовательно, 
Ответ: 
Пример 11.Доказать тождество при 
Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.РешениеВ частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:
.Вспомнив, что 
, получаем 
Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому 
;при 
следовательно, 
Таким образом: 
Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части: 
Тогда, 
, что и требовалось доказать.Пример 12.Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если 
.РешениеВыпишем формулы для вычисления искомых функций:
Из основного тригонометрического тождества вычислим: 
Далее найдем значения искомых выражений:
Ответ: 
Пример 13.Доказать тождество 
.РешениеПриведем левую часть к 1:
.Тождество доказано.Пример 14.Вычислить значение выражения:
.РешениеОбратим внимание, что 
Далее, используя формулы приведения, получим: 
Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций: 
Итак, значение выражения равно 0.Ответ: 0.Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:
.Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — угломα, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.Пример 15.Вычислить cos(4arctg 5).РешениеПусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку: 
Тогда получаем, что: 
Ответ: 
Пример 16.Выразить через все обратные функции 
РешениеПусть 
. Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.Найдем все тригонометрические функции угла:
В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что 
.Но 
, так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинусаcos (-α) = cos α, при этом 
, то есть 
, тогда 
.Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, 
, следовательно, 
. Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.Ответ: 
Пример 17.Найти arcsin (sin 12).РешениеПо условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку 
. Заметим, что 
, поэтому 
.Поскольку 
, угол 12º - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.Ответ: arcsin (sin12) = 12º - 4π.Пример 18.Вычислить 
РешениеВведем два угла:
Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что 
. Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.Во-первых, 
Во-вторых, 
.Следовательно, 
Ответ: 
