или абсолютная величина числа равна , если больше или равно нулю, и равна 
, если меньше нуля:
Из определения следует, что для любого действительного числа , 
.Теорема. Абсолютная величина действительного числа 
равна большему из двух чисел или . положительно, то отрицательно, т.е. 
. Отсюда следует, что 
.В этом случае 
, т.е. 
совпадает с большим из двух чисел и . отрицательно, тогда положительно и 
, т.е. большим числом является . По определению, в этом случае, 
— снова, равно большему из двух чисел и .
.В самом деле, как 
, так и равны большему из чисел и , а значит, равны между собой.Следствие. Для любого действительного числа справедливы неравенства 
, 
.Умножая второе равенство на 
(при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: , 
, справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: 
.Теорема. Абсолютная величина любого действительного числа равна арифметическому квадратному корню из
: 
.В самом деле, если 
, то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , 
, значит .Если 
, тогда и 
, и в этом случае .Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять на 
.Геометрически означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.Если , то на координатной прямой существует две точки и , равноудаленные от нуля, модули которых равны.Если 
, то на координатной прямой изображается точкой 0.Свойства модуля 
.Из этого свойства следует, что 
; 
.
