Векторы на плоскости и в пространстве

Если даны два вектора  и , то:

1. Длины векторов:
2. Сумма векторов:Суммой двух векторов a и b является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма); или вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего — по правилу треугольника.Суммой трех векторов a, b, c называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах(правило параллелепипеда).
3. Разность векторов:
4. Умножение вектора на число (скаляр):Векторы t и b называются коллинеарными, т.е. лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Пропорциональные координаты — условие коллинеарности векторов.
5. Скалярное произведение векторов:Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.
6. Угол между векторами a и b, точнее его косинус:
7. Векторное произведение векторов:где S — площадь параллелограмма, построенного на векторах a, b.Если , то данные векторы коллинеарные (параллельны прямой).
8. Смешанное произведение векторовЕсли , то данные векторы компланарные (принадлежат плоскости или параллельны ей).Три ненулевых вектора a, b, cкомпланарны, когда один из них выражается через два других, т.е. , где n, m — числа.Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком плюс, если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком минус, если они образуют левую тройку, т.е. .
9. Введение системы координат.Как лучше ввести систему координат для самых часто встречающихся в задаче C2 многогранников, рассмотрим на примерах.Координаты вершин куба
   1. Начало координат — в точке A;
   2. Сторона куба — единичный отрезок.
   3. Ось ОХ направляем по ребру AB, ОY — по ребру AD, а ось OZ — по ребру AA₁.Для нижней плоскости куба:

      Точка	A	B	C	D
      Координаты	(0; 0; 0)	(1; 0; 0)	(1; 1; 0)	(0; 1; 0)

      Для верхней плоскости куба:

      Точка
      Координаты	(0; 0; 1)	(1; 0; 1)	(1; 1; 1)	(0; 1; 1)

   Координаты вершин трехгранной призмыВ задачах C2 встречаются исключительно правильные трехгранные призмы (прямые призмы, в основании которых лежит правильный треугольник).
   1. Начало координат — в точке A;
   2. Сторона призмы — единичный отрезок, если иное не указано в условии задачи;
   3. Ось OX направляем по ребру AB, OZ — по ребру AA₁, а ось OY расположим так, чтобы плоскость OXYсовпадала с плоскостью основания ABC.Заметим, что ось Y НЕ совпадает с ребром AC, т.к. треугольник ABC — равносторонний, в нем все углы по 60°. А углы между осями координат должны быть по 90°, поэтому сверху картинка будет выглядеть так:Проведем в этом треугольнике высоту CH. Треугольник ACH — прямоугольный, причем AC = 1, поэтомуAH = 1 · cos A = cos 60°; CH = 1 · sin A = sin 60°. Эти факты нужны для вычисления координат точки C.Получаем следующие координаты точек:

      A	B	C
      (0;0;0)	(1;0;0)		(0;0;1)	(1;0;1)

   Координаты вершин шестигранной призмыНачало координат — точку O — поместим в центр симметрии шестиугольника ABCDEF. Ось OX пойдет вдоль FC, а ось OY — через середины отрезков AB и DE. Получим такую картинку:Заметим, что начало координат НЕ совпадает с вершиной многогранника! Это позволяет значительно уменьшить объем вычислений.OZ перпендикулярна плоскости OXY:Пусть все ребра нашей правильной шестигранной призмы равны 1.Координаты нижнего основания:

   A	B	C	D	E	F
   		(1;0;0)			(-1;0;0)

   Координаты верхнего основания:

   		(1;0;1)			(-1;0;1)

   Координаты вершин четырехугольной пирамидыРазберем только самый простой случай — правильную четырехугольную пирамиду, все ребра которой равны.Начало координат в точке A, единичный отрезок AB = 1, ось OX направим вдоль AB, ось OY — вдоль AD, а осьOZ — вверх, перпендикулярно плоскости OXY.Чтобы найти координаты вершин, проведем высоту SH. Рассмотрим плоскость OXY: в основании лежит квадрат, его координаты известны. Найдем координаты точки S. Поскольку SH — высота к плоскости OXY, точки S и Hотличаются лишь координатой z. Длина отрезка SH — это и есть координата z для точки S, поскольку H = (0,5; 0,5; 0).Треугольники ABC и ASC равны по трем сторонам (AS = CS = AB = CB = 1, а сторона AC — общая). Следовательно,SH = BH. Но BH — половина диагонали квадрата ABCD, т.е. BH = AB · sin 45°. Получаем координаты всех точек:

   A	B	C	D	S
   (0;0;0)	(1;0;0)	(1;1;0)	(0;1;0)

   Мы рассмотрели лишь самые распространенные многогранники, однако этих примеров достаточно, чтобы самостоятельно вычислить координаты любых других фигур. Поэтому можно приступать, собственно, к методам решения конкретных задач.Пример 1.В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) и C = (- 4; 3; - 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.Решение.Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем: AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).Ответ: AB(2; - 7; 4); AC(- 5; - 3; - 5); BС (- 7; 4; - 9).Пример 2.Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).Решение.Поскольку координаты векторов даны, подставляем их в формулу №6:Ответ: 36/65.Пример 3.Вычислить площадь треугольника с вершинами А(1;-1;2), В (5;-6;2), С(1;3;-1).Решение.тогда площадь треугольника АВС будет вычисляться следующим образом:Ответ: 12,5.Пример 4.Вычислить смешанное произведение векторов Решение.Ответ: 95.
10. Вычисление направляющих векторов прямыхНаправляющим вектором прямой называется вектор параллельный данной прямой.Прямая задается парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим, так называемый, направляющий вектор прямой:Угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами.