Задачи на работу и производительность
. (1)Пример 2.Вася выполняет свою работу за 2 часа, а Коля — за 3 часа. Сколько времени они потратят, если будут делать эту работу вдвоем?Решение:Скорость работы каждого из мальчиков: 
подставим в формулу (1):
или 
.Поэтому, когда в задаче объем работы в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице.В нашей задаче 
(ч).Иногда в задачах на совместную работу можно обойтись без решения уравнений, используя только арифметический способ. Правда, для этого порой приходится прибегать к гипотетическим допущениям. Рассмотрим такой пример.Пример 3.Маша и Даша за день могут прополоть 3 грядки, Даша и Глаша — 4 грядки, а Глаша и Маша — 5 грядок. Спрашивается, сколько грядок за день смогут прополоть девочки, работая втроем?Решение:Вообразим, что сначала Маша и Даша работали один день, затем Даша и Глаша работали один день, а потом Глаша и Маша работали еще один день. Получается, что каждая из девочек работала два дня или что бригада, состоящая из Маши, Глаши и Даши, прополола 3 + 4 + 5 = 12 грядок за два дня. Значит, за один день эта бригада прополет вдвое меньше грядок, т.е. 6.Эту же задачу можно решить «нашим» способом, с помощью уравнений.Обозначим 
и подставим в систему:
Тогда втроем они выполнят работу за 
.Из последнего уравнения видим, что единица объема работы равна 6.Ответ: 6.Пример 4.Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?Решение:Составим для удобства таблицу:
| V | v | t |
1-й рабочий | V |
| 15 |
2-й рабочий | V |
| 15 |
1-й рабочий |
|
| 3 |
Вместе |
|
|
|
.Если в задаче объем резервуара в явном виде не задан, его иногда удобно принять равным единице:
или .Пример 6.Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если бак, объемом 360 литров она заполняет на 10 минут медленнее, чем вторая труба?Решение:Составим для удобства таблицу:
| V | v | t |
1-я труба | 360 | v - 6 |
|
2-я труба | 360 | v |
|
v2 - 6v - 216 = 0; v1 = -12 — не удовлетворяет условию, v2 = 18.В задаче спрашивается скорость работы первой трубы, т.е. 18 - 6 = 12 часов.Ответ: 12.Тренировочные задачиПример 7.Двое рабочих выполнили работу за два дня. Если бы первый рабочий проработал 2 дня, а второй 1 день, то они вместе выполнили бы всей работы. За сколько дней выполнит эту работу первый рабочий?Решение:
| V | v | t |
Вместе | V = 1 | х + у |
|
1-й рабочий | 2х | х | 2 |
2-й рабочий | 1у | у | 1 |
. За два дня первый рабочий сделает 2х, а второй рабочий — 1у, всего они выполнят 2х + у = 5/6. Получили систему: 
. Решая эту систему, найдем производительности рабочих: 
. Тогда время, которое затратит первый рабочий на выполнение всей работы равно:
дня.Ответ: 3.Пример 8.Ученик прочел книгу в 480 страниц, ежедневно читая одинаковое количество страниц. Если бы он читал каждый день на 16 страниц больше, то прочел бы книгу на 5 дней раньше. Сколько дней ученик читал книгу?Решение:Пусть ученик читал в день x страниц. Тогда он прочитал книгу за 
дней. Если бы он читал x + 16 страниц в день, то он прочитал бы книгу за 
дней, что на 5 дней меньше. Получаем уравнение: 
.Решая его, находим, что ученик в день читал x=32 страницы и прочитал книгу за 15 дней.Ответ: 15.Пример 9.Двое рабочих выполнили работу менее, чем за 4 часа. Если бы первый выполнял ее в одночку, он сделал бы работу на 6 часов быстрее, чем второй. Какие значения может принимать время выполнения работы первым из рабочих, работающим отдельно?Решение.Обозначим всю работу за 1, производительность первого рабочего за х, а производительность второго рабочего за у. Тогда, совместная производительность равна х + у. А на выполнение всей работы им потребуется 
дней, по условию: 
. Время, за которое может выполнить работу первый рабочий выражается: 
, а время второго: 
. По условию: 
.Итак, получили систему: 
.Так как производительность — величина положительная, то неравенства в системе равносильно следующему: 4x + 4y > 1. Выразим x из уравнения и подставим в неравенство: 
. Решая это неравенство, получаем: 
или 
. Условию соответствует первое неравенство. Следовательно, .Ответ: время выполнения работы первым из рабочих, работающим отдельно, может принимать значения, не большие 4.