, где 
— коэффициент теплового расширения, t° — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.Решение:Задача сводится к решению уравнения L(t°) — L0 = 3 (мм) при заданных значениях длины L0 = 10 м и коэффициента теплового расширения :
Ответ: 25.Задачи, приводящие к квадратным уравнениям или неравенствам.Пример 2.Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту с фиксированной начальной скоростью. Траектория полёта камня в системе координат, связанной с машиной, описывается формулой у = ах2 + bх, гдеа = -0,01 м-1, b = 1 — постоянные параметры, х (м) — смещение камня по горизонтали, у (м) — высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?Решение:Задача сводится к решению неравенства 
при заданных значениях параметров а и b: 
м.Камни будут перелетать крепостную стену на высоте не менее 1 метра, если камнеметательная машина будет находиться на расстоянии от 10 до 90 метров от этой стены. Наибольшее расстояние — 90 метров.Ответ: 90.Пример 3.Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна
,где m — масса воды в килограммах, v —скорость движения ведёрка в м/с, L — длина верёвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). С какой минимальной скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 0,441 м? Ответ выразите в м/с.Решение:Задача сводится к решению неравенства 
при заданной длине веревки L = 0,441 м:
м/с.Ответ: 2,1.Пример 4.Высота над землёй подброшенного вверх мяча меняется по законуh(t) = 1,6 + 8t - 5t2,где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров?Решение:Формулой, описывающей изменение высоты мяча с течением времени, является h(t) = 1,6 + 8t - 5t2. В эту формулу не требуется подставлять значения параметров или констант.Условие «мяч находится на высоте не менее трёх метров» эквивалентно неравенству 
: 
Проанализируем полученный результат: мяч будет находиться на указанной высоте в период времени от 0,2 до 1,4 секунды, т.е. в течение 1,2 секунды.Ответ: 1,2.Пример 5.В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по законуH(t) = 0,01t2 - 0,4t + 4,где t — время (в минутах), прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.Решение.Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени, является H(t) = 0,01t2 - 0,4t + 4, в эту формулу не требуется подставлять значения параметров или констант.Вода будет вытекать из бака, пока её уровень не понизится до нуля или будет больше нуля. Определим требуемое на это время, решая неравенство 
:
.Проанализируем полученный результат: неравенству удовлетворяют все значения переменной t. Это означает, что высота столба не может стать отрицательной ни в какой момент времени. Нулевого значения высота столба воды достигает при t = 20. Таким образом, столб воды опустится до нуля за 20 минут.Ответ: 20.Задачи, приводящие к степенным уравнениям или неравенствам.Пример 6.Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана—Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры:Р = 
ST4,где = 5,7·10-8 — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, температура Т — в градусах Кельвина, а мощность Р — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь поверхности 
, а излучаемая ею мощность Р не менее 9,12·1025 Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.Решение.Задача сводится к решению неравенства 
при известном значении постоянной = 5,7·10-8 и заданной площади звезды :
Ответ: 4000.Пример 7.На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выраженная в ньютонах, будет определяться по формуле:FA = 
gL3,где = 1000 кг/м3 — плотность воды, L — длина ребра куба в метрах, a g — ускорение свободного падения (считайте g = 9,8 м/с2). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить эксплуатацию аппарата в условиях, когда выталкивающая сила при погружении не будет превосходить 78 400 Н? Ответ выразите в метрах.Решение.Задача сводится к решению неравенства 
при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:
(м).Ответ: 2 м.Задачи, приводящие к рациональным уравнениям или неравенствамПример 8.Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0 = = 440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону
,где с — скорость звука в воздухе (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.Решение.Задача сводится к решению неравенства 
при известном значении постоянной f0 = 440 Гц:
Ответ: 7.Пример 9.Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d1 , от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение
Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким. Ответ выразите в сантиметрах.Решение.Поскольку f = 30, имеем:
Наименьшему возможному значению d1 соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность 
в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого 1/d2, которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя d2. Поэтому d2 =180, откуда
По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 30 до 50 см от линзы. Найденное значение d1 = 36 см удовлетворяет условию.Ответ: 36.
