Функции. Графики элементарных функций

Функции. Графики элементарных функций

Одним из важнейших умений, которым должен владеть абитуриент, является умение строить графики элементарных функций. При этом, безусловно, требуется следующие базовые знания.

1. О графиках основных элементарных функций:
   а) линейной ;б) обратная пропорциональность  ;б) квадратичной ;в) степенной с целым показателем ;г) степенной с рациональным показателем;д) показательной ;е) логарифмической ;ж) тригонометрических:
   • 
   • 
   • 
   • 
2. Об элементарных приемах построения графиков:
   а) приемы, связанные с применением геометрических преобразований плоскости (параллельный перенос, симметрия, деформация);б) приемы построения графиков кусочных функций, т.е. функций, заданных различными формулами на разных участках области определения, например, функция:в) приемы так называемого «сложения» графиков функций.

Рекомендуем предварительно повторить теоретический материал, связанный с указанными знаниями, затем разобрать примеры, приведенные в данном параграфе, и только после этого приступить к выполнению предложенных упражнений.Переменная величина y называется функцией переменной величины x, если каждому значению x соответствует определенное значение y.Множество всех тех значений, которые принимает аргумент x функции y = f (x), называется областью определения этой функции.Множество всех тех значений, которые принимает сама функция y = f (x), называется областью значений (изменения)этой функции.Функция y = f (x) называется четной, если при всех значений x из области определения этой функции f (-x) = f (x).Функция y = f (x) называется нечетной, если при всех значений x из области определения этой функции f (-x) = -f (x).Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат.Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на данном промежутке, если при произвольных двух различных значениях аргумента из данного промежутка большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.Функция y = f (x) называется периодической, с периодом T, где T ≠ 0, если значение функции не изменяется при прибавлении числа T к любому допустимому значению аргумента: f (x+T) = f (x).Функция y = f (x) называется ограниченной, если можно указать такое положительное число M, что |f (x)| ≤ M для всех значений x из области определения функции. Если же точка M не существует, то функция называется неограниченной.Графиком функции y = f (x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых (x, f (x)).Функцию вида y = ax² + bx + c называют квадратичной. Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Точку с координатами  называют вершиной параболы.Соответствие между элементами двух множеств X и Y, при котором каждому элементу множества X сопоставляется не более одного элемента Y, называется функцией.Отсюда следует, что понятие функции имеет три главных компонента:

1) множество X (которое называется областью определения функции);2) множество Y (которое называется областью значений функции);3) закон соответствия (который иногда называется функциональной зависимостью).

При этом закон соответствия может быть задан любым способом: таблицей, графиком, формулой или как-то иначе, например, при помощи словесного описания.Если функцию задают формулой, то при этом фактически указывают область определения функции и закон соответствия (область значений функции не указывается явно, так как она устанавливается исходя из данной формулы).Областью определения функции, заданной явной аналитической формулой, считают множество всех тех значений аргумента, для которых все указанные в формуле операции выполнимы.Приведем примеры аналитических формул, в которые входят операции, ограничивающие область существования функции:

Аналитическая формула	Ограничения

Опишем далее способы построения графиков функций.

1. Способ «по точкам». Вытекает из определения графика функции. Он является длинным и недостаточно надежным. Применяется в школьном курсе математики при первоначальном знакомстве с простейшими функциями.
2. Способ «путем сдвига графиков основных функций или сдвига осей координат». Чтобы построить график функции y = f (x) + c можно или график функции y = f (x) сдвинуть вдоль оси 0y на c единиц в сторону, совпадающую со знаком c, или перенести параллельно ось 0y в сторону, противоположную знаку c.Чтобы построить график функции y = f (x + b), можно или график функции y = f (x) вдоль оси 0x на b единиц в сторону, противоположную знаку b, или перенести параллельно ось 0y в сторону, совпадающую со знаком b.
3. Способ «путем симметричного отображения относительно осей координат». Чтобы построить график функцииy = -f (x), можно построить изображение, симметричное графику функции y = f (x) относительно оси абсцисс.Чтобы построить график функции y = f (-x), можно построить изображение, симметричное графику функции y = f (x)относительно оси ординат.
4. Способ «путем деформирования графиков основных функций». Чтобы построить график функции y = af (x) приa > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси ординат, если a > 1 (0 < a < 1).Чтобы построить график функции y = f (b ∙ x) при b > 0, можно график исходной функции растянуть (сжать) вдоль оси абсцисс, если b > 1 (0 < b < 1).
5. «Способы построения графиков функций, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины»:
   1) функция y = f (|x|) четная. Чтобы построить ее график, достаточно построить для всех неотрицательных значении аргумента график функции y = f (x), а затем достроить его левую часть, симметричную правой относительно оси ординат;2) рассмотрим далее, как строить функцию y = |f (x)|. Можно данную функцию рассматривать как совокупность двух функций:3) чтобы построить график функции y = |f (x)|, достаточно построить график функции y = f (x) и ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси абсцисс;4) вспомним, как строится функция y = f (|x|).Функция y = f (|x|) четная. Построить для всех неотрицательных значений аргумента график функции y = f (x), затем его симметрично отразить относительно оси ординат, и, наконец, ту часть полученного графика, которая расположена в нижней полуплоскости, симметрично отразить относительно оси абсцисс.
6. Способ «кусочно-линейная функция».Графиком кусочно-линейной функции является ломаная линия. Для построения графика находят уравнения звеньев ломаной.

Пример 1.Найти область определения функции:РешениеЧтобы найти область определения данной функции, следует решить систему неравенств:Ответ: Комментарий. Область значений (изменения) функции можно найти, исследуя аналитическое выражение функции или разрешая данное уравнение функции относительно x.Пример Построить график функции  (без использования понятия производной).РешениеДана функция . Преобразуем 

1. Область определения: 
2. Область значений: 
3. Четность, нечетность: и ни четная, ни нечетная .
4. Монотонность: убывает во всей области определения 
5. Пересечение с осями 0x и 0y: 
6. Промежутки знакопостоянства:
7. Поведение функции вблизи точек разрыва и при :

По результатам решения строим график:Комментарий. При построении графика функции следует найти точки, в которых он пересекает оси координат, а также выяснить поведение функции при x, стремящемся к ± ∞ в случае, когда ее область определения не ограничена. Необходимо также исследовать поведение функции вблизи тех точек, в которых она не определена.
Пример .Построить график функции .РешениеЧасто задача построения графика функции y = f (x) = f₁ (x) + f₂ (x) значительно облегчается, если предварительно построить в одной системе координат графики функций y = f₁ (x) и y = f₂ (x).В нашем случае  и .Целесообразен следующий план построения графика данной функции.

1. Построим график функции y = x².
2. Построим график функции .
3. Проанализируем, каким будет значение функции  (назовем ее «суммарной») в характерных точках: x₁= 0; x₂ = 1; вообще в контексте рассматриваемого приема построения графиков, к характерным точкам целесообразно относить нули функций y = f₁ (x) и y = f₂ (x), их точки разрыва, граничные точки, точки экстремума и точки излома, точки пересечения графиков функций y = f₁ (x) и y = f₂ (x).
4. Исходя из графиков функций y = f₁ (x) и y = f₂ (x) проанализируем поведение графика суммарной функции на бесконечности.
5. Уточним график «суммарной» функции, осуществив непосредственное сложение ординат y₁ и y₂ в нескольких дополнительных точках.

Указанный план может служить ориентиром для решения любой задачи, в которой необходимо построить график функцииГрафик функции  изображен на рисунке: