Меню

bost-mix@at.ua

Определение и свойства пределов функции

«Математический анализ» — серьезный раздел высшей математики. «Анализируют» здесь довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный поход). Такой анализ практически всегда связан с понятием предела функции. Изучение в дальнейшем производной основано на понятии предела, поэтому так важно разбираться в данной теме.Определение и свойства пределов функцииФункция f (x) имеет предел A в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0 (в окрестности U(x0)), значение f (x) близко к A. При этом x0 может не принадлежать области определения функции D(f) , хотя окрестность точкиx0 U (x0) принадлежит D(f). На графике это выглядит как выколотая точка.Обозначение: или: Рассмотрим с помощью некоторых известных графиков функций понятие предела на бесконечности.

функция

x → -∞

x → +∞

x → 0

f (x) = x2

→ +∞

→ +∞

→ 0

f (x) = 1 / x

→ 0

→ 0

→ +∞, -∞

f (x) = x3

→ -∞

→ +∞

→ 0

Прямая y = b является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств:или или Прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств: или или Прямая y = ax + b является наклонной асимптотой графика функции y = f (x), если выполняется одно из равенств:или или Пример.По графику y = f (x) найти:
    а) б) в) г) 
Свойства пределов функции
  1. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
  2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.
  3. Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:
  4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:
  5. Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:
Замечание.Принято считать, что Следующие пределы считают неопределенностью: . Если в примере встретилась неопределенность, то надо найти пути для ее устранения. Общие правила:
    1) если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида  или , то для решения нужно разложить числитель и знаменатель на множители или разделить на максимальную степень числителя (или знаменателя) и числитель и знаменатель;2) если же в числителе или в знаменателе находятся иррациональные выражения и имеется неопределенности вида  или , то для решения надо избавляться от иррациональности, помножив и числитель, и знаменатель на сопряженное выражение;3) если же в числителе или в знаменателе находятся тригонометрические выражения и имеется неопределенности вида  или , то для решения используют формулу замечательного предела 
Вычисление пределов функцииПример 1.Найти предел функции:Пример 2.Найти предел функции:Пример 3.Найти предел функции:Пример 4.Найти предел функции:Пример 5.Найти предел функции:Пример 6.Найти предел функции:Пример 7.Найти предел функции:Пример 8.Найти предел функции:Пример 9.Найти предел функции:Пример 10.Найти предел функции:Непрерывность функцииМы интуитивно понимаем, что если функция непрерывна, то мы можем ее нарисовать, не отрывая карандаша от листа бумаги.Функция у = f (x) называется непрерывной, если она непрерывна в каждой точке своей области определения.Чтобы понять, что такое непрерывность функции в целом, сначала надо разобраться, что такое непрерывность функции в точке.Функция у = f (x) называется непрерывной в точке х = с, если предел функции в точке х = с равен значению функции в этой точке:Т.е. должны выполняться одновременно три условия:
    1) функция определена и в самой точке х = с и в некоторой окрестности этой точки, причем U(с) ϵ D(f);2) существует ;3) A = f(c).
Заметим, что в случае непрерывной функции в точке x = c, на графике данная точка выколотой быть не может.Для иллюстрации, как работает данное определение, рассмотрим три функции (см. табл.). Все три условия определения выполняются только у первой функции у = х + 1. У второй — не выполняется третье условие, а у третьей функции — первое.

Непрерывная функция

Разрывная в т. х = 1

Разрывная в т. х = 1

Пример 11.Найти точку разрыва функции РешениеНайдем область определения функции: 5x + 7 ≠ 0, x ≠ -1,4.Ответ: -1,4.Пример 12.Найти сумму значений точек разрыва функции РешениеНайдем область определения функции: х2 + 2х — 3 ≠ 0. По теореме, обратной к теореме Виета: х1 ≠ 1, x2 ≠ -3.Далее находим сумму значений 1 + (-3) = -2.Ответ: -2.Пример 13.Указать точку разрыва функции:РешениеПостроим график данной функции на указанных промежутках. Видим, что целостность функции нарушается при х = 2.Ответ: 2.

Форма входа