Формулы числа сочетаний. Бином Ньютона
| Порядок важен | Порядок неважен | |
Без повторений |
|
|
|
С повторениями |
|
|
|
| Размещения | Перестановки | Сочетания |
- 1-й способ. Выпишем по порядку все числа от 10 до 99 и выберем те, что нам нужны: 10, 12, 14, 20, 22, 24, 40, 42, 44, 50, 52, 54, 90, 92, 94. Всего 15 пар.2-й способ. Изобразим таблицу вариантов:
| 0 | 2 | 4 |
1 | 10 | 12 | 14 |
2 | 20 | 22 | 24 |
4 | 40 | 42 | 44 |
5 | 50 | 52 | 54 |
9 | 90 | 92 | 94 |
чисел. исходов.Ответ: 15.Пример 2.Сколько может быть различных комбинаций выпавших граней при бросании двух игральных костей?Решение:На первой кости может быть: 1,2,3,4,5 и 6 очков, т.е. 6 вариантов (исходов). На второй — 6 вариантов. Бросают и первую, и вторую, значит, применяем правило умножения. Всего: 
вариантов.Ответ: 36.Пример 3.Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?Решение:Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание на 0 из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4! - 3! = 24 – 6 = 18Ответ: 18.Пример 4.Сколько всего исходов в опыте бросания двух монет одновременно?Решение:При бросании первой монеты возможны два исхода (орел или решка), при бросании второй монеты имеем тоже два исхода (орел или решка). По правилу умножения: 
.Ответ: 4.Пример 5.Сколько всего исходов, если бросают одну и ту же монету два раза?Решение:При бросании первый раз у монеты возможны два исхода (орел или решка), при бросании второй раз у монеты имеем тоже два исхода (орел или решка). Тогда .Ответ: 4.Пример 6.Имеется 9 различных книг, 4 из которых — учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?Решение:Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р6 =6!способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 = 4! перестановок учебников. По правилу умножения независимых событий искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 
.Ответ: 17 280.Пример 7.У Пети есть 7 монет по 1 рублю и 3 монеты по 2 рубля. Петя случайным образом выбирает 1 монету номиналом 1 рубль и 1 монету номиналом 2 рубля. Сколькими способами он может это сделать?Решение:Для начала выясним, сколькими способами Петя может выбрать 1 монету из 7 имеющихся номиналом 1 рубль:
.Аналогично, найдем число способов выбрать 1 монету номиналом 2 рубля из имеющихся 3 монет: 
.Теперь, согласно закону умножения, найдем общее число способов: 
.Ответ: 21.Пример 8.В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?Решение:Всего в корзине n = 8 белых шаров, из которых надо выбрать k = 2 шара. Это можно сделать C82 = … = 28 различными способами.Кроме того, в корзине имеется n = 12 черных шаров, из которых надо выбрать опять же k = 2 шара. Число способов сделать это равноC122 = … = 66.Поскольку выбор белого шара и выбор черного — события независимые, общее число комбинаций считается по правилу умножения:28 · 66 = 1848. Как видим, вариантов может быть довольно много.Ответ: 1848.Пример 9.В 10 «Б» классе в среду 7 уроков: алгебра, геометрия, литература, физкультура, русский язык, английский, биология.- А) сколько можно составить различных вариантов расписания на среду?Б) В скольких расписаниях физкультура будет последним уроком?В) В скольких вариантах расписания естественно-математические и гуманитарные предметы будут идти блоками, разделенными уроком физкультуры?
- А) Каждое возможное расписание задает нумерацию семи названных предметов числами 1 2 3 4 5 6 7 в соответствии с порядковым номером урока. Таких нумераций всего 7! = 5040.Б) 6 уроков (кроме физкультуры) надо распределить по номерам 1 - 6. Всего имеется 6! =720 вариантов.В) Физкультуру следует поставить 4-м уроком. Расписание будет составлено, как только мы проведем следующие три независимых испытания.
- Во-первых, выбор блока (1-й - 3-й или 5-й – 7-й уроки) для гуманитарных предметов. Тут возможны 2 исхода: поставить этот блок до урока физкультуры или после него. Алгебра, геометрия и биология автоматически окажутся в другом блоке.Во-вторых, выбор порядка гуманитарных предметов в уже выбранном блоке: Р3 = 3! = 6 различных перестановок.В-третьих, следует посчитать и все перестановки для естественно-математических предметов — их тоже 6. По правилу умножения получаем:
способами.Если испытание А — выбор председателя и секретаря — завершено, то следует заняться испытанием В — выбором трех членов комиссии из оставшихся 78 участников собрания. Редакционную комиссию выбирают списком, т.е. порядок отбора не имеет значения. Сделать это можно С783способами. Имеем: 
. Поскольку А и Впредполагаются независимыми, применим правило умножения: 
способов.Ответ: 480 800 320.Пример 11.Сколько существует всего исходов, если друг за другом из колоды вынимают три карты, возвращая карту обратно (выбор с возвращением).Решение:Для первой карты возможно 36 возможностей выбора. Когда первую карту вытащили, то положив ее обратно, в колоде стало снова 36 карт, значит для второй карты тоже 36 возможных исходов. Для третьей карты все то же самое. По правилу умножения имеем n = 36 · 36 · 36 = 46 656.Ответ: 46 656.Пример 12.Из 3-х экземпляров учебника алгебры, 7-ми экземпляров учебника геометрии, 6-ти экземпляров учебника физики надо выбрать один комплект, содержащий все три учебника по одному разу. Сколькими способами это можно сделать?Решение:Пусть А — «выбор 1 учебника алгебры», N(A)=3, В — «выбор 1 учебника геометрии», N(B)=7, С — «выбор 1 учебника физики», N(C)=6. Применяя правило умножения, получим: 3·7·6=126 способов.Ответ: 126.ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ:Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то- выбрать либо А, либо В можно (m + n) способами, если А и В не имеют общих элементов.
- выбрать либо А, либо В можно (m + n – d) способами, если А и В имеют d общих элементов.
- а) Найти количество возможных вариантов билета.б) Сколько из них тех, в которых ученик знает все вопросы?в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство вопросов?
- а) Порядок вопросов в билете не важен. Поэтому возможны
вариантов билета.б) Тут все три вопроса надо выбирать из тех 12, которые выучил ученик: 
.в) Билет подобного типа составляется так: следует выбрать независимо друг от друга по одному вопросу – из блока выученных 12 вопросов, из блока тех 5-ти, что он не смотрел и из оставшихся 3-х вопросов. По правилу умножения получим: 12·5·3 = 180.г) Большинство вопросов из трех – это два или три. Выбрать два из 12 выученных вопросов и один из оставшихся 8 вопросов можно (по правилу умножения) 
способами. А билеты, в которых все вопросы выучены, уже посчитаны в пункте б), их всего 220. В итоге, применяя правило сложения, получим 528 + 220 = 748 билетов.