Вероятности событий
Рассмотрим примеры.Событие G «Лампочка никогда не перегорит» — невозможное событие, его вероятность 0.Событие Q «Летом пойдет снег» — практически невозможное, его вероятность ближе к 0.Событие Z «Завтра я найду на улице миллион рублей» — маловероятное.Событие М «Бутерброд падает всегда маслом вниз» — случайное событие, его вероятность 1/2, как и вероятность выпадения герба при бросании монеты (Событие N).Событие А «Лампочка рано или поздно перегорит» — достоверное событие, с вероятностью 1.Событие В «Зимой бывает снег» — достоверное, его вероятность близка к 1.Посмотрим, как будут данные события располагаться на вероятностной шкале:
Замечание 1. Если число равновозможных событий равно N, то вероятность каждого из них 1/N.Замечание 2. Если результат случайного эксперимента — три элементарных события a, b, c, а вероятности этих событийР(a), Р(b), Р(c), то сумма вероятностей всех элементарных события в каждом опыте равна 1, т.е. Р(a) + Р(b) + Р(c) = 1.Пусть случайное событие А состоит из элементарных событий. Эти элементарные события называютблагоприятствующими случайному событию А. Все прочие элементарные события данного опыта, не благоприятствующие событию A, в совокупности представляют новое событие, не благоприятствующее событию А, которое называется событием противоположным событию А 
. События А и называют взаимно противоположными событиями.Замечание 3. Взаимно противоположные события одновременно произойти не могут, но какое-либо из них происходит обязательно. Поэтому 
Пример 1.Студент не успел выучить 3 билета из 30. Какова вероятность, что он сдаст экзамен?РешениеПервый способПо определению вероятности: 
, где k — число благоприятных событий (исходов), n — общее число событий (исходов).k = 30 — 3 = 27, n = 30. Тогда искомая вероятность р = 27 / 30 = 0,9.Второй способ3 / 30 = 0,1 — вероятность, что студент не сдаст экзамен, тогда вероятность, что сдаст 1 — 0,1 = 0,9.Ответ: 27 / 30 = 0,9.Пример 2.Какова вероятность, стоя с закрытыми глазами перед географической картой мира, выбрать точку на суше, показав на нее указкой, если площадь суши 149,1 млн км2, а площадь океанов 361,1 млн км2?РешениеНадо знать, какую часть всей площади Земли занимает суша. 149,1 + 361,1 = 510,2 млн км2. Отношение этих площадей и даст искомую вероятность: 149,1 : 510,2 = 0,29.Геометрическое определение вероятности
, где G — произвольная область, А — любая подобласть области G.Пример 3.В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см?РешениеЗакрасим голубым цветом множество точек квадрата, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата равна 16 см2 — 4 см2 = 12 см2. Отсюда искомая вероятность будет 
Операции с вероятностями1. Сложение вероятностей.Событие 
наступает, если наступают оба события А и В одновременно.Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим те элементарные события, которые благоприятствуют событию А, и те элементарные события, которые благоприятствуют событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется объединением событий А и В.Событие 
наступает, если наступает хотя бы одно из событий А или В. Это означает, что наступает либо А, либо В, либо А и В вместе.Пусть А и В — два события одного случайного опыта. Рассмотрим элементарные события, которые благоприятствуют и событию А, и событию В. Все вместе эти элементарные события благоприятствуют новому событию, которое называется пересечением событий А и В.Если события А и В не имеют общих благоприятствующих элементарных событий, то они не могут наступить одновременно в ходе одного и того же опыта. Такие события называют несовместными (взаимоисключающими), а их пересечение — пустое событие.Пример 4.Мишень представляет три области. Для данного стрелка вероятность попасть в первую область 0,15, во вторую — 0,25, в третью — 0,4. а) Какова вероятность стрелку попасть с первого выстрела в какую-нибудь из трех областей? б) Какова вероятность промазать с первого выстрела?Решениеа) Одновременно попасть в две (три) области при одном выстреле нельзя, т.е. имеем дело с несовместными событиями, поэтому Р = Р1 + Р2 + Р3 = 0,15 + 0, 25 + 0,4 = 0,8.Ответ: 0,8б) Событие «промазать» противоположно событию «попасть куда-нибудь». Поэтому 
Ответ: 0,2.Пример 5.Игральную кость бросают дважды. Какова вероятность, что оба раза выпало разное число очков?РешениеПервый способСобытие А состоит в том, что в первый раз выпало больше очков, чем во второй. Событие В состоит в том, что во второй раз выпало больше очков, чем в первый.Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (15 штук ) розовым цветом, а В (15 штук) — голубым. Общее число элементарных событий 36. Р(А) = Р(В) = 15 / 36 = 5 / 12.
Общих элементарных событий у событий А и В нет, т.е. события А и В несовместны, тогда:
Второй способОбозначим 
событие «оба раза выпало одинаковое число очков», являющееся противоположным событию . Ему соответствуют 6 незакрашенных ячеек таблицы.
Тогда 
Ответ: 5/6.Пример 6.Бросают две правильные игральные кости. Какова вероятность, что на обеих выпало число очков меньше трех?РешениеСобытие А состоит в том, что «на первой кости выпало меньше 3 очков», а событие В, что «на второй кости выпало меньше 3 очков».Выделим в таблице элементарные события, благоприятствующие А (12 штук) розовым цветом, а В (12 штук) — голубым, а события, благоприятствующие и А, и В (4 штуки) — зеленым. Общее число элементарных событий 36.
Р(А) = Р (В) = 12 / 36 = 1 / 3, 
.Очевидно, что 1/3 + 1/3 ≠ 5/9, т.к. события А и В не являются несовместными, у них есть общие элементарные события. Поэтому используем формулу:
Ответ: 5/9.2. Умножение вероятностей.Случайный выбор — это выбор наудачу одного предмета из группы предметов.Выбор наудачу — это разновидность случайного опыта с равновозможными элементарными событиями. Элементарным событием в таком опыте является извлечение одного предмета из группы. Если в группе N предметов, то каждый из них может быть выбран с вероятностью 1/N. После выбора одного предмета случайный выбор можно продолжить, выбрав второй, третий и т.д. предметы или сразу взять наудачу нужное количество предметов. Собранную таким образом группу называют случайной выборкой.Независимые события — это события, которые не связаны друг с другом, т.е. по наступлению одного из них нельзя судить о вероятности другого. Например, при бросании двух костей результат бросания первой кости не влияет на результат бросания второй.Если события А и В независимы, то 
Пример 7.Какова вероятность, что при бросании двух игральных костей выпадут две шестерки?РешениеПусть событие А — «на первой кости выпала шестерка», событие В — «на второй кости выпала шестерка», заметим, чтоР(А) = Р(В) = 1/6. Общее число элементарных событий 36. Выпадение двух шестерок — новое событие, являющееся пересечением независимых событий А и В. 
Получаем, что 
Ответ: 1/36.