Меню

bost-mix@at.ua

Пирамида

Пирамида
Пирамидой называется многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников с общей вершиной, называемых боковыми гранями пирамиды. Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник.Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник и все боковые ребра равны.Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию. Усечённая пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она была получена — правильная.Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.Элементы пирамиды
  • апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины;
  • боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
  • боковые ребра — общие стороны боковых граней;
  • вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
  • высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
  • диагональное сечение пирамиды— сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
  • основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды;
Свойства пирамиды
  1. Если в пирамиде все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.
  2. Если в пирамиде длины всех боковых ребер равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности,описанной около основания пирамиды.
  3. Если в пирамиде все боковые грани образуют с плоскостью основания равные углы, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
  4. Если в пирамиде длины всех апофем боковых граней равны, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.
  5. Боковые ребра правильной пирамиды — равны.
  6. Боковые грани правильной пирамиды — равные друг другу равнобедренные треугольники.
  7. Боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы.
  8. Апофемы правильной пирамиды равны.
  9. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
  10. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все боковые ребра равны между собой.
  11. Все боковые грани правильной усеченной n-угольной пирамиды суть равные равнобедренные трапеции (углы при основаниях равнобедренной трапеции равны).
  12. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все плоские углы при основаниях равны.
  13. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при основаниях равны.
  14. В правильной усеченной n-угольной пирамиде все двугранные углы при боковых ребрах равны.
  15. Центром описанной, около пирамиды, сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу.
  16. В пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке. Эта точка будет центром сферы.
  17. Если центры вписанной и описанной сферы совпадают, то сумма плоских углов при вершине пирамиды равна , а каждый из них соответственно , где n — количество сторон многоугольника основания.
  18. Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой.
  19. Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой.
  20. Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.
  21. Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью, вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
  22. Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник.
  23. Свойства тетраэдра
    1. Биссектральные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в одной точке — центре вписанной сферы.
    2. Плоскости, проходящие через середины ребер тетраэдра и перпендикулярные этим ребрам, пересекаются в одной точке — центре описанной сферы.
    3. Прямые, перпендикулярные граням тетраэдра, и проходящие через центры их описанных окружностей, пересекаются в одной точке — центре описанной сферы.
    4. У тетраэдра существует сфера, касающаяся всех его ребер, тогда и только тогда, когда суммы противоположных ребер этого тетраэдра равны.
    5. Отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противоположных граней, пересекаются в одной точке — центроиде тетраэдра и делятся в этой точке в отношении 3 : 1, считая от вершины.
    6. Точка пересечения высот правильного тетраэдра делит каждую из его высот в отношении 3:1, считая от вершины, и является центром его вписанной и описанной сфер. При этом, если ребро правильного тетраэдра равно b, то его высота .
    7. Теорема (Менелая).Пусть на ребрах AB, BC, CD и AD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки A1, B1, C1 и D1. Для того чтобы эти точки лежали в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство.
    8. Теорема (Чевы). Пусть на ребрах AB, BC, CD и AD тетраэдра ABCD взяты соответственно точки A1, B1, C1 и D1. Плоскости ABC1, BCD1, CDA1 и DAB1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда.
    9. Бимедианы тетраэдра АС и BD,т.е. отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра, пересекаются в одной точке О — центроиде.
    10. Основанием высоты прямоугольного тетраэдра,проведенной из вершины с прямыми плоскими углами, является точка пересечения высот противоположной грани.
    11. Теорема (Пифагора). Квадрат площади грани прямоугольного тетраэдра, лежащей против вершины с прямыми плоскими углами, равен сумме квадратов площадей остальных граней этого тетраэдра:SACB2 =SADC2 + SADB2 + SCDB2.
Формулы, связанные с пирамидой
  • Произвольная пирамида
    • Объём пирамиды может быть вычислен по формуле: где S — площадь основания и h — высота;
    • Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:;
    • Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания:
  • Произвольная усечённая пирамидагде H — высота, S1 и S2 — площади оснований, V — объем;
  • Правильная усечённая пирамидагде h — апофема, P1 и P2 — периметры оснований;
  • Правильная пирамидагде  — двугранный угол при основании;
Решение задачПример 1.Основание тетраэдра DABC треугольник со сторонами 13 см,14 см, 15 см. Расстояние от точки D до сторон треугольника основания равны 5 см. Найти расстояние от точки D до плоскости АВС.Решение.Расстояние от вершины до плоскости основания равно высоте, которая опущена из вершины на основание.Величины апофем пирамиды равны по условию задачи. Высота, опущенная из вершины, является центром вписанной в основание окружности. Таким образом, прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды и апофемой — равны по двум катетам.Найдем радиус вписанной в основание окружности. Формула радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник: S = pr, гдеПо теореме Пифагора: DE2 = h2 + r2, h2 = 25 - 16 , h2 = 9, h = 3 (см).Ответ: 3.Пример 2.Найдите величину двугранного угла правильного тетраэдра.Решение.Надо найти угол между двумя пересекающимися медианами двух боковых граней.По теореме Пифагора  По теореме косинусов:Ответ: arccos(1/3).Пример 3.В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого 8 см, а радиус описанной около него окружности равен 5 см. Высота пирамиды равна 12 см. Вычислить боковые ребра пирамиды.Решение.Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на его гипотенузе. Кроме того АО = ОС = ОВ = r,поэтому AB = 10 см.ANO =DNO =CNO по двум катетам, поэтому боковые ребра пирамиды равны. Итак, AN = NB = NC найдем по теореме Пифагора: AN2 = AO2 + ON2 , AN2 = 52 + 122 ,AN = , AN = 13.Ответ: 13, 13, 13.

Форма входа