Параллелепипед и куб
- 1) Все его грани — прямоугольники. Противоположные грани — равные прямоугольники.2) Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.3) Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам.4) Все диагонали параллелепипеда равны, пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.5) Точка пересечения диагоналей является центром описанного шара.6) Квадрат диагонали AK прямоугольного параллелепипеда равен квадратному корню из суммы квадратов длин его измерений, то есть АК2 = a2 + b2 + c2.7) Объем любого прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его измерений, то есть V = abc.8) Площадь боковой поверхности S=2ab+2bc+2ac.9) Объем куба V =a3.10) Свойство диагоналей куба: диагональ MC куба ABCDMNKP перпендикулярна плоскостям (ANP) и (KBD) и делится этими плоскостями на три равных отрезка: MQ=QE=EC.
Найдем расстояние Н от вершины куба А до диагонали ВС = D.Из 
АКВ: d2 = a2 + a2 = 9 + 9 = 18, 
.Из АВС: D2 = d2 + a2 =18 + 9 = 27, 
.Из прямоугольного АВС: 
Ответ: 
.Пример 2.Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Длина параллелепипеда равна 18 м, что в 2 раза больше его ширины и на 8 м больше его высоты. Найти ребро куба.Решение.Измерения параллелепипеда: ширина 18/2=9 м, высота 18-8=10 м, длина 18 м.S = 9·10·2 +9·18·2+10·18·2=180+324+360=864, 864/6=144, a2=144, a=12 м - ребро куба.Ответ: 12.Пример 3.Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.Решение.
Площадь поверхности получившегося многогранника равна сумме площадей 6 граней куба со стороной 1, четырех граней параллелепипеда со сторонами 1 и 0,5 минус 2 площади основания вырезанной призмы:S = 6 + 4(0,5·1) – 2(0,5·0,5) = 7,5.Ответ: 7,5.Пример 4 .Дан прямоугольный параллелепипед. Угол между диагональю основания и одной из его сторон равен ?. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен ?. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ основания равна k.Решение.
АВС — прямоугольный:AB = k·cos
, BC = k·sin. Периметр основания Росн = 2k(cos + sin).Прямая АВ перпендикулярна плоскости грани ВСС1В1, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым ВС и ВВ1этой плоскости. Поэтому 
, т.е. ВАС1 — прямоугольный, и ВС1 = АВ·tg
= kcostg.Из прямоугольного ВСС1:
Следовательно, Sб = Росн·CC1,
Ответ: 
Пример 5.В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 12 см и 16 см. Высота параллелепипеда — 8 см. Найдите площадь его полной поверхности.Решение.
Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. По теореме Пифагора сторона основания
см, поэтому периметр ромба равен 40 см.Боковая поверхность Sб = Росн·CC1 = 40 · 8 = 320 см2.Площадь ромба Sромба = 2SABC = 2·(AC·OB)/2 = AC·OB =16· 6 = 96 см2.Площадь полной поверхности Sпп = 2Sромба + Sб = 2·96 + 320 = 512 см2.Ответ: 512.Пример 6.Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижнего основания. Определите высоту параллелепипеда, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро равно 5 см.Решение.
Поскольку одна из вершин основания параллелепипеда (обозначим ее F) одинаково удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда, то вместе с диагональю нижнего основания (обозначим ее AC) она образует равнобедренныйAFC. AF = FC по условию. Одновременно, BF — это ребро параллелепипеда.Таким образом, в равнобедренном треугольнике AFC стороны равны следующим величинам: AF = FC = 5 см , AC = 8 см.Высота FK равнобедренного AFC одновременно, будет являться высотой параллелепипеда. Кроме того, высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам. Откуда, по теореме Пифагора высота будет равна:FK2 + (AC/2)2 = FC2FK2 + 16 = 25FK2 = 9FK = 3 смОтвет: 3.