Цилиндр
Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.Сечениями цилиндра могут быть: прямоугольник, круг, эллипс и парабола.Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра.Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой — равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра. Ее боковые ребра являются образующими цилиндра.Призма называется описанной около цилиндра, если ее основания — равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее граней касаются боковой поверхности цилиндра.Цилиндр (R — радиус основания, H — высота):V = πR2HSб = 2πRH ∙ Sпп = 2πR(R + H)Пример 1.Длина окружности основания прямого цилиндра равна 8π см, а диагональ осевого сечения — 17 см. Найдите образующую цилиндра.
РешениеОбразующая прямого цилиндра равна высоте цилиндра ВС.
Из прямоугольного 
Ответ: 15.Пример 2.В цилиндре высоты 5 и радиуса 6 проведено сечение, параллельное оси и отсекающее от окружности основания дугу в 120°. Определить площадь этого сечения.Решение
Сечение цилиндра — прямоугольник МТТ1М1, две стороны которого — образующие и поэтому равны высоте цилиндра, т.е. ММ1 = ТТ1 = 5. Рассмотрим основание цилиндра — круг радиуса 6 с центром в точке О. Сечение, по условию, пересекает основание по отрезку МТ. Так как по условию дуга МТ равна 120°, то центральный угол 
. Опустим из точки О перпендикуляр ОР на хорду МТ. Треугольник МОТ равнобедренный, и его высота ОР является медианой и биссектрисой. Следовательно, МР = РТ и 
.
Тогда 
Площадь сечения 
Ответ: 
Пример 3.Высота цилиндра равна 3, а радиус основания — 2. Найти площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной от нее на расстояние 1.Решение
Сечение цилиндра — прямоугольник МТТ1М1, две стороны которого — образующие и поэтому равны высоте цилиндра, т.е. ММ1 = ТТ1 = 3. Рассмотрим основание цилиндра — круг радиуса 2 с центром в точке О. Сечение, по условию, пересекает основание по отрезку МТ. Опустим из точки О перпендикуляр ОР на хорду МТ. По условию ОР = 1. Треугольник МОТ равнобедренный и его высота ОР является медианой и биссектрисой, поэтому МР = РТ. По теореме Пифагора: 
Тогда 
Площадь сечения 
Ответ: 
Пример 4.Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен r, его высота — h, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно d. Найти высоту цилиндра, если r = 9 дм, d = 7 дм, AB = 12 дм.
РешениеЧерез точку А, лежащую на окружности основания с центром в точке О, проведем образующую. Пусть она пересекает окружность основания с центром в точке О1 в точке С. Плоскость АВС параллельна оси ОО1 цилиндра, поэтому расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно расстоянию от оси до плоскости АВС, т.е. опущенный перпендикуляр ОР = d.Из прямоугольного ∆ОАР находим 
∆DОA — равнобедренный, поэтому 
Из прямоугольного ?ABD находим 
Ответ: 4.Пример 5.В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого равна 17 см, высота цилиндра равна 15 см, а радиус основания 5 см. На каком расстоянии от оси проведено это сечение?
РешениеСечение цилиндра — это прямоугольник. Плоскость АВС параллельна оси ОО1 цилиндра, поэтому расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно расстоянию от оси до плоскости АВС, т.е. опущенный перпендикуляр ОР — искомое расстояние.Из прямоугольного ∆ABD найдем 
∆DОA — равнобедренный, поэтому АР = ½AD = ½8 = 4 см.Из прямоугольного ∆ОАР найдем 
Ответ: 3.Пример 6.Отрезок прямой, соединяющий точку окружности верхнего основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен L и составляет с плоскостью основания угол α. Найти расстояние от этой прямой до оси цилиндра, если осевое сечение цилиндра — квадрат.
РешениеПлоскость АВD параллельна оси ОО1 цилиндра, поэтому расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно расстоянию от оси до плоскости АВD, т.е. опущенный перпендикуляр ОM = NT — искомое расстояние.Из прямоугольного ∆ABD:
AD = Lcosα. Но т.к. ∆DОA — равнобедренный, поэтому AM = ½AD = ½Lcosα.Из прямоугольного ∆ОАM найдем 
Ответ: 
.