Конус
Центр тяжести любого конуса лежит на четверти высоты, считая от основания.Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от него меньший конус. Оставшуюся часть называют усеченным конусом. Усеченный конус можно получить и как тело вращения.Усеченным конусом называют тело вращения, образованное вращением прямоугольной трапеции около боковой стороны, перпендикулярной основаниям.Сечениями усеченного конуса являются: эллипс, парабола, круг, равнобедренная трапеция.Площадь осевого сечения конуса (равнобедренный треугольник) с радиусом основания R и высотой конуса h: Sосев= Rh.Конус (R — радиус основания, L — образующая, h — высота конуса):
Усеченный конус (R1 и R2 — радиусы оснований; L — образующая, h — высота конуса):
Пример 1.Осевое сечение конуса — правильный треугольник. Определить угол в развертке этого конуса.Решение
Для конуса длина окружности основания L = 2πR.Для сектора с углом α длина окружности Lα = π(2R)α / 180°.Длина окружности основания конуса равна длине окружности сектора с углом α развертки этого конуса.Т.е. 2πR = π(2R)α / 180°, α = 180°.Ответ: 180°.Пример 2.Угол в развертке конуса равен 90°. Определить угол в осевом сечении этого конуса.Решение
Длина окружности сектора с углом α = 90°:Lα = πRα / 180° = πR90° / 180° = πR/2.Длина окружности основания конуса L = 2πr.Из равенства длин окружностей сектора и основания выразим r — радиус конуса:
В прямоугольном ∆АОВ: sin(α/2) = r/R = R/4R = ¼, α/2 = arcsin¼, α = 2arcsin¼.Ответ: 2arcsin¼.Пример 3.Радиус основания конуса с вершиной в точке М и центром основания О равен r, а высота конуса равна h. Точка О1лежит на высоте конуса и МО1 : МО = a : b. Через точку проведено сечение плоскостью, перпендикулярной высоте конуса. Найти площадь полученного сечения и длину отрезка ОО1.Решение
Данное сечение — круг с центром в точке О1 и радиусом равным r1. Рассмотрим осевое сечение конуса, проходящее через концы диаметра РТ основания конуса. Это сечение пересекает круг с центром в точке О1 по отрезку ВС. Поскольку плоскость сечения, проходящая через точку О1, и плоскость основания конуса параллельны, как две плоскости, перпендикулярные одной прямой МО, то ВС || PT. Следовательно, треугольники МВО1 и МРО подобны с коэффициентом подобияk = МВ / МР = ВО1 / РО = МО1 / МО = a / b. Так как по условию РО = r, то из полученной пропорции находим ВО1 = r1радиус круга, являющегося сечением конуса:
Из той же пропорции следует:
Итак, площадь сечения S1 = πr12 = πr2 ∙ a2 / b2, а длина ОО1 = (b — a)h / b.Ответ: πr2a2 / b2, (b — a)h / b.Разобранный пример №3 позволяет сформулировать теорему.ТеоремаПлощади сечений конуса, параллельных его основанию, относятся, как квадраты их расстояний от вершины конуса.Пример 4.Высота конуса рана 20. Точки А, В, С лежат в указанной последовательности на высоте конуса и делят ее на четыре равные части, причем С — ближайшая к основанию конуса. Площадь сечения, проходящего через точку В, равна 5. Найти площадь основания конуса и площади сечений, проходящих через точки А и С.
РешениеПоскольку высота конуса МО = 20, а точки А, В, С делят ее на равные части, то МА = 5, МВ = 10, МС = 15. Из теоремы о параллельных сечениях конуса следуют пропорции:Ответ: 20; 1,25; 11,25.Пример 5.Угол при вершине конуса равен β. Какова наибольшая площадь осевого сечения конуса, если величина угла α — угла между образующими, содержащих некоторое сечение конуса, будет меняться?Решение
Пусть α — угол между образующими МВ и МС некоторого сечения, содержащего две образующие конуса, т.е. 
, а угол при вершине конуса, т.е. 
Запишем формулу для площади сечения, как функции от угла α:SMCB = S(α) = ½L2sinα.Заметим, что 0 ≤ α ≤ β.Если β — острый или прямой, то sinα и, значит, S(α) будет монотонно возрастать и поэтому достигнет своего наибольшего значения при α = β. Т.е. в этом случае площадь осевого сечения будет наибольшей.Если β — тупой угол, то наибольшее значение площади сечения будет равно SMCB = S(α) = ½L2, т.к. sinα будет иметь наибольшее значение равное 1, при α = 90°.Дополнительно заметим, что если угол в осевом сечении конуса тупой, то существует такое осевое сечение конуса плоскостью, проходящей через две образующие, площадь которого равна площади осевого сечения.Например, если угол при вершине конуса равен 150°, а образующая 2, то площадь осевого сечения S0 = ½ ∙ 22sin150 = 1. Рассмотрим теперь сечение, содержащее две образующие конуса, угол между которыми равен 30°. Очевидно, что это сечение не осевое. Найдем его площадь: Sсеч = ½ ∙ 22sin30 = 1.Пример 6.В конусе длина образующей вдвое больше его высоты и равна 20. Найти площадь осевого сечения конуса.Решение
Рассмотрим осевое сечение РМТ конуса. Так как катет МО прямоугольного ∆РМО в два раза меньше гипотенузы РМ, то 
. Следовательно, 
. Теперь площадь осевого сечения можно найти по формуле:
Ответ: 