Натуральные числа
=
.Напомним основные определения.Пусть m, n, k натуральные числа.- 1) m + n = k , m – первое слагаемое, n – второе слагаемое, k – сумма.2) m - n = k, m - уменьшаемое, n - вычитаемое, k – разность.3) m * n = k, m – первый множитель, n – второй множитель, k – произведение.4) m : n = k говорят, что m - делимое, n - делитель, k - частное.5)
, m - основание степени, n – показатель степени, k – степень.6) 
, m – подкоренное число, n – показатель корня, k – корень.- a + b = b + a - переместительное свойство сложения
- (a + b) + c = a + (b +c) - сочетательное свойство сложения
- ab = ba - переместительное свойство умножения
- (ab)c = a(bc) - сочетательное свойство умножения
- a(b + c) = ab + ac - распределительное свойство умножения относительно сложения
.Отношение делимости обладает следующими свойствами:- 1) Если два числа делятся на n, то и их сумма делится на n:
.2) Если число m делится на n, то и число mk при любом k делится на n:
, где k - любое число3) Если m делится на n, а n делится на k, то m делится на k:
. и 
означают, что существуют числа 
и 
такие, что 
, 
.Сложим эти два равенства: 
.Равенство 
означает по определению делимости, что m + n делится на n.Два других свойства доказываются аналогично.На основе свойств делимости выводятся признаки делимости.Признаки делимости натуральных чисел- Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
- Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
- Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 2.
- Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.
- Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.
- Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.
- Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
- Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
На 2 | Числа, оканчивающиеся нулем или четной цифрой | …….8 |
На 3 | Числа, сумма цифр которых делится на 3 | 46215 |
На 4 | Числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4 | ……16 |
На 5 | Числа, оканчивающиеся нулем или цифрой 5 | ……5 |
На 6 | Числа, одновременно делящиеся на 3 и на 2 | 126 |
На 8 | Числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8 | …..120 |
На 9 | Числа, сумма цифр которых делятся на 9 | 37683 |
На 10 | Числа, у которых последняя цифра 0 | ….0 |
На 25 | Числа, две последние цифры которых нули или образуют число, делящееся на 25 | …….75 |
На 16, 32 | Числа, у которых три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 16 (32 соответственно) | …….48 |
=a5 105 + a4104 + ... + a110 + a0 = 100 (a51000 + a4100 + a310 + a2)+ a110 + a0.Первое из чисел делится на 4, так как 100 делится на 4.Значит, всё число делится на 4 тогда и только тогда, когда 10a1 + a0 делится на 4.Деление с остаткомЕсли натуральное число m не делится на натуральное число n, т.е. не существует такого натурального числа k, что m = nk, то деление называется с остатком.Формула деления с остатком: m = nk + r, где m - делимое, n - делитель, k - частное, r - остаток, причем 0
r< n.- Любое число можно представить в виде: m = 2k + r , где остаток r = 0 или r = 1
- Любое число можно представить в виде: m = 4k + r , где остаток r = 0 или r = 1 или r = 2 или r = 3
- Любое число можно представить в виде: m = nk + r, где остаток r принимает значения от 0 до n – 1.
- a) 124857408;b) 5741996;c) 3412701;d) 24589144.
4, поскольку число, образованное двумя последними цифрами 44 делится на 4. Следующее число, которое мы рассмотрим, 3412701. Это число нечетное, поэтому оно не делится на четные числа, также к нему не подходят признак делимости на 5, а следовательно, проверяем делимость на 3 и 9. Находим сумму чисел 3+4+1+2+7+0+1= 18. Делаем вывод, что 34127013 или 9. У числа 5741996 две последние цифры образуют число 96, которое делится на 4 и 32, следовательно, 57419964 и 32. Число 124857408 не кратно 4 и 32. Проверяем делимость этого числа на 8: последние три цифры этого числа образуют число 408, которое делится 8. Заключаем, что 1248574088.Натуральные числа делятся на простые и составные. Простые это те натуральные числа, которые имеет только два делителя (само число и единица). Натуральное число называется составным, если имеет более двух делителей.Простых чисел – бесконечное множество. Простые числа, не превосходящие 200 представлены в таблице.Таблица простых чисел
2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 |
41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 |
97 | 101 | 103 | 107 | 109 | 113 | 127 | 131 | 137 | 139 | 149 | 151 |
157 | 163 | 167 | 173 | 179 | 181 | 191 | 193 | 197 | 199 |
|
|
270 | 2 |
135 | 5 |
27 | 3 |
9 | 3 |
3 | 3 |
1 |
|