Меню

bost-mix@at.ua

Преобразования выражений

Преобразования выражений
Комментарий. Задания на тождественные преобразования алгебраических выражений часто встречаются в вариантах экзаменов, проводимых в форме ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и в качестве компонентов заданий (например, при решении алгебраических уравнений и неравенств). Для их выполнения требуется умение применять формулы сокращенного умножения, разложения квадратного трехчлена на множители и знать определения и свойства степеней, уметь выделять полный квадрат.Формулы для справокДействия с дробями:

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Перестановка членов пропорции:

 

Производные пропорцииДана пропорция , справедливы следующие пропорции:

 

Формулы сокращенного умножения:



 

где x1 и x2 — корни уравнения 

 

Формулы корней квадратного уравнения:

, дискриминант 

D > 0

D = 0

D < 0

Среди действительных чисел корней нет

Формулы корней приведенного квадратного уравнения:

, дискриминант 

D0 > 0

D0 = 0

D0 < 0

Среди действительных чисел корней нет

 

Теорема Виета. В приведенном квадратном уравнении  сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а их произведение — свободному члену:Если задано квадратное уравнение в общем виде , то делением уравнения на можно свести к приведенному, где ,Действия со степенями:

При работе с модулями используют различные свойства модулей, например:

 

Действия с корнями (корни предполагаются арифметическими):

 

Свойства числовых неравенств

пусть c > 0, тогда

 и 

пусть a > 0 b > 0, тогда

, 

Вспомним, что алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень или извлечения арифметического корня.Равенство, обе части которого принимают одинаковые числовые значения при любых допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.Например, каждая из формул сокращенного умножения представляет собой тождество, ибо левая и правая части каждого из равенств:

 

равны друг другу при любых значениях a и b. При этом одно выражение преобразуется в другое, ему тождественно равное.При выполнении тождественных преобразований алгебраических выражений необходимо знать порядок выполнения действий, действия с дробями и степенными выражениями, формулы сокращенного умножения и др.Следует иметь в виду, что при тождественных преобразованиях остаются неизменными:
    1) величина допустимых изменений буквенных величин;2) область допустимых значений каждой из буквенных величин.
Первое из этих требований является обязательным при всех преобразованиях, имеющих целью упрощение выражения или приведение его к нужному виду. Если надо, например, дополнить квадратный трехчлен  до полного квадрата, то, прибавив к нему число 9, необходимо такое же число и вычесть, т.е.:Тождественные преобразования последнего выражения можно продолжить и привести исходное выражение к произведению двучленов:Второе требование — неизменность областей допустимых значений — не всегда выполняется при обычно применяемых нами преобразованиях. Сократив, например, дробь  на разность a - 1 и написав равенство , мы замечаем, что нарушено второе требование, которому должно удовлетворять тождественное преобразование: правая часть равенства имеет смысл при любых значениях , а левая только при условии, что a ≠  1, т.е. произошло изменение области допустимых значений величины a. Следовательно, преобразование в данном случае не является тождественным.Однако это не значит, что мы должны отказываться от таких преобразований, которые изменяют области допустимых значений величин. Напротив, мы ими часто пользуемся и при упрощении выражений и при решении уравнений. Нужно только при каждом таком преобразовании указать, как изменились области допустимых значений буквенных величин.Порядок выполнения действий:
    1) действия с одночленами;2) действия в скобках;3) умножение или деление (в порядке появления);4) сложение или вычитание (в порядке появления).
Обыкновенная дробь — число вида ; a — целое число, b — натуральное число. Две дроби  равны, если a * d = b * c. Основное свойство дробей: , где c — любое отличное от нуля действительное число.В пропорции  a и d — крайние члены, b и c — средние члены.Основное свойство пропорции: a * d = b * c (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов).Модуль (абсолютное значение) действительного числа a обозначается символом . По определению модуль действительного числа a является неотрицательным числом:При действиях с радикалами следует иметь в виду, что правила, по которым они выполняются, безоговорочно верны лишь для арифметических корней. По определению корень  называется арифметическим лишь в том случае, если число a положительно или равно нулю, а также положительна или равна нулю и величина самого корня. Если этого не учитывать, то можно допустить ошибку. Например, равенство  верно лишь при условии, что x ≥  0. При x <  0 нужно писать так:Аналогично равенство  верно лишь в случае, если a ≥  b. При a <  b оно неверно и нужно писать . Оба случая можно охватить такой записью: .Пример 1.Упростите выражение .РешениеПрименим свойства степеней (умножение степеней с одинаковым основанием и деление степеней с одинаковым основанием): .Ответ: 9m7.Пример 2.Сократив дробь  вычислите ее значение, если .РешениеДля того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель этой дроби. Данное тождественное преобразование можно сделать разными способами.Способ 1Попробуем выполнить группировку в числителе, записав его следующим образом:3m2 - 3mn + mn- n2 = 3m(m - n) + n(m - n) = (3m + n)(m - n).Способ 2Составим и решим уравнение 3m2 - 2mn - n2 = 0 как квадратное уравнение относительно m, считая n параметром.Получаем, что:.Тогда Аналогично разложим на множители знаменатель дроби:6m2 - 7mn + n2 = (6m - n)(m - n).Следовательно, есть возможность сокращения дроби на множитель (m - n), т.е.:.Из условия  следует, что  (воспользовались свойством пропорции). Значит, .Ответ: .Комментарий. При тождественных преобразованиях иррациональных выражений в ряде случаев удобно выполнить замену переменных таким образом, чтобы для новых переменных получить рациональное выражение (другими словами, исключить иррациональность). При этом лучше просматриваются возможности для применения формул сокращенного умножения и другие способы упрощения рассматриваемого выражения.

Форма входа