Tригонометрические выражения. Часть 1
, 
.Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:Формулы сложения.Формулы двойных и половинных углов.Формулы преобразования суммы в произведение:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
|
|
| |
|
|
|
|
.
.
.φ | α |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin φ | - sin α | cos α | cos α | sin α | - sin α | - cos α | - cos α | - sin α | sin α |
cos φ | cos α | sin α | - sin α | - cos α | - cos α | - sin α | sin α | cos α | cos α |
tg φ | - tg α | ctg α | - ctg α | - tg α | tg α | ctg α | - ctg α | - tg α | tg α |
ctg φ | - ctg α | tg α | - tg α | - ctg α | ctg α | tg α | - tg α | - ctg α | ctg α |
.Так как по условию задачи cosα = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (
), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, 
.Ответ: .Пример 2.Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.РешениеВоспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α * ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α * 0,2 = 1, откуда tg α = 5.Ответ: 5.Пример 3.Упростите выражения:РешениеДанные задания — на применение формул сложения.
;
;
;
;
;
.- 1)
. Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что 
.2) 
.3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда 
.4) 
.5) Применим формулу «тангенс суммы», получим 
.6) 
.
.Пример 4.Вычислите:Решение
;
;
;
;
.- 1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда
.2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: 
.3) Представим 75º в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75º = 45º + 30º . Следовательно, 
. Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: 
.4) 
. Окончательно получаем, что 
.5) Для вычисления значения cos 15º представим 15º как 15º = 45º - 30º (или 15º = 60º - 45º ). Тогда 
. Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что 
. Cледовательно, 
.
.Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.Пример 5.Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:1) sin2α;2) sin4α + cos4α;3) sin6α + cos6α.Решение- 1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:1 - sin2α = 0,09, откуда:sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.Для этого сумму sin4α + cos4α представим в специальном виде:sin4α + cos4α = (sin4α + 2sin2α cos2α + cos4α) - 2sin2α cos2α = (sin2α + cos2α)2 - 1/2 α sin22α = 1 - 1/2 * 0,91 = 0,545.Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin6α + cos6α можно представить в виде суммы кубов.sin6α + cos6α = (sin2α)3 + (cos2α)3 = (sin2α + cos2α)(sin4α - sin2α cos2α + cos4α) = 1 * (0,545 – 1/4 * 0,91) = 0,3175.
- 1) 0,91;2) 0,545;3) 0,3175.