Рациональные уравнения
,где A (x), B (x) — произвольные рациональные выражения;P (x), Q (x) — многочлены,приводит к громоздким, «рутинным» преобразованиям или к необходимости находить корни многочленов степени большей, чем второй. А это уже не совсем «школьная» задача. При этом даже в самых очевидных случаях, абитуриенты не применяют метод введения новой переменной. А ведь введение новой переменной позволяет быстро упростить решаемое уравнение. Это мощный метод, его следует понимать и применять.Введение новой переменной осуществляется тогда, когда решаемое уравнение представимо в виде f (g (x)) = 0. Полагая g (x) = t, мы переходим к решению системы:
Если уравнения f (t) = 0, g(x) = t1, g(x) = t2, …, g (x) = tn , где t1, t2, …, tn — корни уравнения f (t) = 0, проще исходного уравнения, то метод, как говорится, сработал.Рассмотрим различные рациональные уравнения, для решения которых весьма полезен метод введения новой переменной, но не очевидны случаи, когда исходное уравнение непосредственно имеет вид f (g(x)) = 0. Поиск удачной подстановки g (x) = t и специальная работа по приведению исходного уравнения к указанному виду, составляет главную сущностную часть решения уравнения. Решение же уравнения f (t) = 0 и совокупности уравнений g (x) = ti — сравнительно несложная, техническая часть процесса решения уравнения.Решение дробно-рациональных уравнений нередко сводится к решению обычных квадратных уравнений, но с учетом ограничений на допустимые значения неизвестного. В частности, из ОДЗ исключаются те значения х, при которых хотя бы один из знаменателей дробей, входящих в уравнение, обращается в 0.Этапы решения рационального уравнения.- Определить ОДЗ (ни один знаменатель не может равняться нулю).
- Найти наименьший общий знаменатель всех дробей.
- Умножить уравнение на этот знаменатель и решить полученное целое уравнение.
- Включить в ответ только те корни, которые входят в ОДЗ.
РешениеРаскрыв скобки в знаменателях, получаем уравнение:
Полагая, что x2 + 3х + 2 = t приходим к системе уравнений:
Решив первое уравнение системы, получаем корни t1 = 2, t2 = 18. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения: .
Ответ: 
.Пример 2.Решим уравнение: 
.РешениеПрибавим к числителю второй дроби выражение 2х - 2х, тождественно равное нулю:
Полагая 
, приходим к системе уравнений:
Решив первое уравнение системы, получаем корни: t1 = -1, t2 = 2. Из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения:
Ответ: 
Пример 3.Решим уравнение: 
.РешениеПолагая, что 
, приходим к системе уравнений:
Решим первое уравнение системы, воспользовавшись формулой:
Имеем:
Решив полученное биквадратное уравнение, получаем корни t1, 2 = ± 1 и соответственно: x1 = -5, x2 = -3.Ответ: -5; -3.Пример 4.Решим уравнение: 
РешениеПринимая во внимание тождество 
, перепишем данное уравнение в виде:
Полагая, что 
, имеем систему уравнений:4t2 + 12t - 55 = 0,
Решив первое уравнение системы, получаем корни: 
.Из второго уравнения системы получаем корни исходного уравнения: 
.Ответ: 
.Пример 5.Решим уравнение: 
РешениеЛевая часть уравнения представляет собой сумму квадратов. Для решения уравнения, удобно превратить ее в полный квадрат, добавив к обеим частям уравнения соответствующее удвоенное произведение:
Полагая, что 
, имеем систему уравнений:
Решив первое уравнение системы, получаем корни t1 = -9, t2 = 3. Далее, из второго уравнения системы, получаем корни исходного уравнения:
Пример 6.Решим уравнение: 
РешениеПоложим, что x2 + х + 4 = t. Тогда заданное уравнение принимает вид:t2 + 8xt + 15x2 = 0.Решив это уравнение как квадратное относительно t, получаем:
.Совокупность уравнений:
дает корни исходного уравнения: 
Ответ: 
.Комментарий. Метод введения новой переменной иногда называют методом замены переменной. Это не совсем правомерно. Введение новой переменной в уравнение отнюдь не предполагает обязательное исчезновение из уравнения старой переменной.Пример 7.Решим уравнение: 
РешениеПусть x0 — корень уравнения. Введем новые неизвестные u = 2 - x0 и х = x0 - 3. Понятно, что термин «новые переменные» в данном случае был бы применен неправильно. U и v — хотя и неизвестные, но постоянные величины, ибо х0 — постоянная, а отнюдь не переменная величина.Имеем систему уравнений:
Воспользовавшись формулой:
,имеем:
Учитывая, что u + v = -1, из второго уравнения системы получаем:
Таким образом, либо uv = 1, либо uv = 0 и для нахождения u и v имеем две системы уравнений (совокупность систем):
Первая система решений не имеет.Корни второй системы: u1 = 0, v1 = -1 и u2 = -1, v2 = 0. Отсюда либо x0 = 2, либо x0 = 3.Итак, корни исходного уравнения: x1 = 2, x2 = 3.Ответ: 2; 3.