Системы уравнений
- Способ подстановки.Решим систему уравнений:
Способ подстановки заключается в следующем:- 1) выражаем одно неизвестное через другое, воспользовавшись одним из заданных уравнений. Обычно выбирают то уравнение, где это делается проще. В данном случае нам все равно, какое из заданных уравнений использовать для нашей цели. Возьмем, например, первое уравнение системы, и выразим xчерез y:
.2) подставим во второе уравнение системы вместо x полученное равенство: 
.
Подставим найденное значение 
в равенство, выражающее x, получим: 
.Таким образом, нами найдена пара значений 
, которая является решением заданной системы. Осталось сделать проверку.Проверка: 
- Способ уравнивания коэффициентов при неизвестных состоит в том, что исходную систему приводят к такой эквивалентной системе, где коэффициенты при x или y были одинаковы. Покажем, как это делается, на данном примере.Решим систему:
- 1) Для приравнивания коэффициентов, например при y надо найти НОК(3; 5)=15, где 3 и 5 —коэффициенты при y в уравнениях системы. Затем разделить 15 на 3 — коэффициент при y в первом уравнении, получим 5. Делим 15 на 5 — коэффициент при — во втором уравнении, получаем 3. Следовательно, первое уравнение системы умножаем на 5. а второе на 3:
2) Так как коэффициенты при y имеют противоположные знаки, складываем почленно уравнения системы:
3) Для нахождения соответствующего значения y подставим значение x в любое исходное уравнение системы (обычно подставляют в то уравнение системы, где отыскание значения y проще). В исходной системе уравнения одинаковы по сложности, поэтому подставим значение x = 4 во второе уравнение, чтобы не делать лишней операции деления на -1: 
которая является решением заданной системы.
Складывая почленно уравнения заданной системы, получим:
.Подставив вместо x значение 5 во второе уравнение исходной системы, находим соответствующее значение y: 
Таким образом, решением системы является 
Пример 1.Решим систему уравнений: 
Решение.Положим 
. Тогда придем к системе уравнений: 
Эту систему решим методом уравнивания коэффициентов. Для этого умножим второе уравнение системы на -2 и сложим с первым уравнением:
Отсюда получаем, что 
, тогда 
Следовательно, имеем систему уравнений: 
т.е. 
Полученную систему будем решать способом уравнивания коэффициентов. Здесь умножим второе уравнение системы на 3 и сложим с первым уравнением, получим:
Получаем, что 
. Подставим найденное значение переменной x в одно из уравнений системы, найдем значение y. Получим ответ: 
При решении систем тригонометрических уравнений последние сводят либо к одному уравнению с одним неизвестным, либо к системе уравнений относительно аргументов или функций этих аргументов.Рассмотрим лишь некоторые типы тригонометрических уравнений и наиболее употребительные методы их решения.Решим систему: 
Складывая и вычитая уравнения системы согласно формулам преобразования произведения в сумму функции sin ?, получаем равносильную систему: 
Полученная система имеет решение в том случае, когда выполняются условия 
и 
. А поскольку обе системы равносильны, то и исходная система имеет решения только при указанных условиях. Если эти условия выполнены, то 
(*), где k и n – любые целые числа, а знаки выбираются произвольно.Пусть 
.Таким образом, формулы (*) определяют четыре серии решений:
Решая эти системы, находим:
Аналогично решается система: 
Пример 2.Решить систему: 
Решение.Сначала в первом уравнении системы перейдем от градусной меры к радианной: 
. Далее из первого уравнения системы выражаем y: 
. Тогда второе уравнение примет вид: 
(**).Упростим правую часть полученного уравнения:
Таким образом, уравнение (**) примет вид 
откуда получаем, что 
Так как , то подставив значение 
, получим:
Ответ: 
Пример 3.Решить систему: 
Решение.Область определения системы: 
Применяя способ подстановки, получаем: 
(***) Далее решаем второе уравнение системы, имеем: 
. В результате упрощений получаем: 
Теперь систему (***) заменим двумя системами:
Решим каждую систему.Решение первой системы: 
Решение второй системы: 
Пример 4.Решить систему уравнений: 
Решение.Вычтем первое уравнение из второго и применим формулу 
.
Случай 1: cos 4y = 1, тогда из второго уравнения 
, то есть cos 4x = 0. Получена система двух простейших уравнений:
Случай 2: 
Решая полученную систему простейших уравнений, находим вторую группу корней:
Еще раз напомним, что решение каждого уравнения системы содержит свой целочисленный параметр (решением будет каждая пара чисел, заданная полученными формулами, в которых мы можем задавать n и k любые целые значения, не обязательно одинаковые).Ответ: 
Комментарий. При решении показательно-логарифмических систем применяются как обычные методы решения систем (подстановка, замена переменных), так и приемы решения соответствующих уравнений. Если в системе присутствуют логарифмы, не забудьте об ограничениях на допустимые значения неизвестных. Если получившиеся неравенства трудны для решения (например, неравенства с двумя переменными), можно ограничиться подстановкой в них найденных решений.Пример 5.Решить систему уравнений: 
Решение.ОДЗ: x > 0, y > 0.Из первого уравнения можно сделать подстановку:
Находим соответствующие значения у: у1 = 4 – 1 = 3, у2 = 4 – 3 = 1. Все найденные решения входят в ОДЗ.Ответ: (1; 3), (3; 1).