Меню

bost-mix@at.ua

Уравнения, содержащие модуль

Уравнения, содержащие модуль
В структуру ЕГЭ включены комбинированные задачи с модулем и параметрами. Для решения этих задач необходимо знание понятие «модуль» на повышенном уровне, а также других учебных тем (алгебраические уравнения и неравенства, метод интервалов, графики функций, уравнения и неравенства с параметрами и т.д)Данный раздел содержит задания достаточно высокого уровня сложности, рассмотрение которых не следует рекомендовать абитуриентам, не достаточно подготовленным.Содержание раздела познакомит вас с разнообразными частными приемами и методами решения комбинированных задач, большинство из которых носит исследовательский, поисковый характер, требует высокого уровня математической культуры (именно поэтому все задания снабжены полными решениями и комментариями по использованию соответствующего теоретического материала). При сравнении абитуриентом самостоятельно выполненного решения задачи с решением, приведенном в настоящем разделе, абитуриент познакомится с эталонным оформлением решения комбинированных задач (при проверке ЕГЭ заданий группы С учитывается полнота и оформление решения, которое необходимо представить в обязательном порядке).Модуль. Свойства модуляОпределение. Модуль числа  или абсолютная величина числа  равна , если  больше или равно нулю, и равна , если  меньше нуля:Из определения следует, что для любого действительного числа , .Теорема. Абсолютная величина действительного числа  равна большему из двух чисел  или .
  1. Если число  положительно, то  отрицательно, т.е. . Отсюда следует, что .В этом случае , т.е.  совпадает с большим из двух чисел  и .
  2. Если  отрицательно, тогда  положительно и , т.е. большим числом является . По определению, в этом случае,  — снова, равно большему из двух чисел  и .
Следствие. Из теоремы следует, что .В самом деле, как , так и  равны большему из чисел  и , а значит, равны между собой.Следствие. Для любого действительного числа  справедливы неравенства , .Умножая второе равенство  на  (при этом знак неравенства изменится на противоположный), мы получим следующие неравенства: , , справедливые для любого действительного числа . Объединяя последние два неравенства в одно, получаем: .Теорема. Абсолютная величина любого действительного числа  равна арифметическому квадратному корню из: .В самом деле, если , то, по определению модуля числа, будем иметь . С другой стороны, при , , значит .Если , тогда  и , и в этом случае .Эта теорема дает возможность при решении некоторых задач заменять  на .Геометрически  означает расстояние на координатной прямой от точки, изображающей число , до начала отсчета.Если , то на координатной прямой существует две точки  и , равноудаленные от нуля, модули которых равны.Если , то на координатной прямой  изображается точкой 0.Свойства модуля .Из этого свойства следует, что ; .

Форма входа