Равносильные переходы между уравнениями с модулями

Равносильные переходы между уравнениями с модулямиТема «Абсолютная величина» (или «Модуль числа») является наиболее эксплуатируемой в практике комбинированных задач вступительных экзаменов в форме ЕГЭ. Вероятно, это объясняется ощущением простоты понятия абсолютной величины числа и тем обстоятельством, что, используя модуль, любую систему и совокупность уравнений и неравенств с одной и той же областью определения можно представить в виде одного равносильного сравнения.Посмотрим на примере, как система одного неравенства и совокупность двух неравенств преобразуется к одному равносильному уравнению.В основе указанных преобразований лежат следующие легко доказываемые утверждения:Вариант приведения одного отношения к равносильному ему отношению другого типа

<		≤		=		≥		>

 

Линейные сплайны. Пусть заданы  — точки смены формул. Функция , определенная при всех , называется кусочно-линейной, если она линейная на каждом интервале , , , ..., , т.е., где обозначено , .Если к тому же выполнены условия согласования , то рассматриваемая кусочно-линейная функция непрерывна. Непрерывная кусочно-линейная функция называется такжелинейным сплайном.Функцию с рассматриваемом графиком можно задать и одной и тремя формулами:Однако нетрудно заметить, что эту же функцию можно задать и одной формулой, используя модули: . Оказывается, что и любую непрерывную кусочно-линейную функцию вида (1) можно задать некоторой формулой видагде числа , , ...,  легко найти по графику данной функции.Заметим, что две ломаные с бесконечными крайними звеньями и одинаковыми абсциссами вершин , , ..., совпадают, если у них равны угловые коэффициенты всех «одноименных» звеньев и имеется общая точка. Иными словами, знание угловых коэффициентов всех звеньев и координат одной точки такой ломаной на основе указанной информации, при котором данная точка  берется за исходную.Отмеченный факт мы и положим в основу получения формулы для непрерывной кусочно-линейной функции, заданной своим графиком. Напомним, что  равняется , если , и , если . Поэтому на каждом из промежутков , , ..., , на которые числовая прямая разбивается точками, функция, определяемая вышеобозначенной формулой, будет линейная (как сумма линейных функций), и для нахождения углового коэффициента соответствующего звена ломанной достаточно найти коэффициент при  после раскрытия всех модулей в выражении рассматриваемом на соответствующих этим звеньям промежутках, находим: