Графическое решение комбинированных уравнений

Графическое решение комбинированных уравненийРешение комбинированных уравнений, содержащих знак абсолютной величины часто гораздо удобнее решать не аналитически, а графически (особенно уравнения содержащие параметры).Построение графиков вида ,  и Отметим правило построения графика функции .

1) Строим сначала график функции .2) Там, где график функции лежит выше оси Ox или на ней, оставляем его без изменения; точки графика, которые лежат ниже оси Ox, заменяем симметричными им относительно оси Ox точками.

Для примера, на рисунке изображен график функции .Для построения графика функции  cтроим график функции  для  и отображаем симметрично относительно оси Oy.Для примера, на рисунке изображен график функции .Для построения графика функции  строим график функции  для  и симметрично отображаем относительно оси Ox.Для примера, на рисунке изображен график функции .Пример 26.Построить график функции .Решение.Воспользуемся правилами преобразования графиков.

1. График функции  - биссектриса первого и третьего координатных углов.
2. График функции  получается из графика функции  отображением его части, расположенной ниже оси абсцисс (при ) симметрично относительно оси абсцисс.
3. График функции  получается из предыдущего сдвигом влево по оси абсцисс на две единицы.
4. Полученный график сдвигаем по оси ординат на 3 единицы вниз. Получаем график функции .
5. Часть его, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично относительно этой оси. Итак, получаем график данной функции.

Исследуемая функция допускает другую форму записи:Пример 27.В зависимости от параметра , найти количество решений уравнения Решение.Построим график функции .В зависимости от положения прямой , получаем следующее: при a < 0 нет корней, при a = 0 - бесконечно много корней, при  - четыре корня, при  - три корня, при  - два корня.Пример 28.Докажите, что на графике функции  можно отметить такую точку A, а на графике функции  - такую точку B, что расстояние AB не превышает .Решение.Положим . Точка B с координатами , где , очевидно, лежит на графике функции .Рассмотрим положительное число . Тогда , следовательно, точка A с координатами лежит на графике функции .Расстояние между точками A и B равно . Но из равенства  следует, что , .Простейшие комбинированные уравнения с модулемК «простейшим» комбинированным (не обязательно простым) уравнениям мы будем относить уравнения, решаемые одним из нижеприведенных равносильных переходов:Пример 29.На координатной плоскости изобразите все точки, координаты которых являются решениями уравнения: .Решение.или .Ответ: см. рисунок:Пример 30.Дана функция . Сколько решений имеет уравнение ?Решение. Пусть  - решение уравнения , а . Тогда и , а потому точка с координатами  лежит на каждом из графиков  и . Наоборот, если точка  лежит на пересечении этих графиков, то  и , откуда . Тем самым показано, что число решений уравнения  совпадает с числом точек пересечения графиков  и , а их 16 (см. рисунок).Ответ: 16.Графики комбинированных функций, содержащих линейные выражения под знаком абсолютной величины.Комментарий. Сформулируем утверждение, позволяющее строить график алгебраической суммы модулей, не раскрывая модули (это особенно удобно, когда модулей много).Теорема. Алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную, график которой состоит из n + 1 прямолинейного участка. Поэтому график может быть построен по n + 2 точкам, nиз которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна - произвольная точка, с абсциссой меньше наименьшего из этих корней, и последняя - с абсциссой, большей наибольшего из этих корней.Комментарий. Аналогично можно строить графики вида .Примеры построения комбинированных графиков.

1. . Вычисляем значения функции в точках 1, 0 и 2, получаем график, состоящий из двух лучей (см. рис.)
2. . Вычисляя значение функции в точках с абсциссами 1, 2, 0 и 3, получаем график, состоящий из отрезка и двух лучей (см. рис.).
3. . Для построения графика «по отрезкам» вычислим значение функции в точках 1, 2, 3, 0, 4 (см. рис.).
4. . График разности модулей строиться аналогично (см. рис.).

Комментарий. Анализируя вид графиков 1, 2 и 3, можно предположить, а затем и доказать, что сумма модулей линейных выражений вида  достигает своего наименьшего значения либо в единственной точке, если число модулей нечетно, либо во всех точках некоторого отрезка, если число модулей чётно. График суммы нечетного числа модулей линейных выражений имеет форму клина, а график суммы чётного числа модулей имеет участок параллельный оси абсцисс. Более точно.Теорема. Пусть корни подмодульных выражений упорядочены по возрастанию . Тогда если число слагаемых n нечётно и , то наименьшее значение функции достигается в точке , а если число слагаемых n чётно и , то наименьшее значение функции достигается во всех точках отрезка .