Комбинированные уравнения
, откуда следует, что 
. Иногда такое преобразование можно провести непосредственно, в других случаях требуется предварительно сделать замену переменной.Пример 1.Решить уравнение: 
.Решение.Представим обе части равенства в виде степеней с основанием 2:
Ответ: 
Пример 2.Решить уравнение: 4x+2 + 2 ∙ 4x – 5x+2 = 5 ∙ 5x.Решение.Поменяем порядок слагаемых:4x+2 + 2 ∙ 4x = 5x+2 + 5 ∙ 5x,4x (16 + 2) = 5x (25+5),18 ∙ 4x = 30 ∙ 5x, 
Ответ: 
Пример 3.Решить уравнение: 2х+4 ∙ 3х = 576.Решение.Преобразуем левую часть: 16 ∙ (2х ∙ 3х) = 576 и разделим обе части на 16: 6х = 36, х = 2.Ответ: 2.Пример 4.Решить уравнение: 
Решение.Запишем уравнение в виде: 
и сделаем замену: t = 2x (t > 0). Тогда:2t2 + 16t – 40 = 0,t2 + 8t – 20 = 0,t1 = 2, t2 = - 10 < 0 — посторонний корень.Обратная замена: 2х = 2, х = 1.Ответ: 1.Пример 5.Решить уравнение: 
Решение.Если записать левую часть так: 
то можно заметить, что основания степеней (числа 4, 10, 25) образуют геометрическую прогрессию. В этом случае можно разделить обе части равенства, например, на 25х ( поскольку ни при каком х это выражение не равно нулю) и получить уравнение 
или 
Замена 
приводит к уравнению t2 + 2t – 8 = 0, t1 = 2, t2 = -4 < 0 — посторонний корень. Следовательно, 
Ответ: 
Пример 6.Решить уравнение: 12x ∙ 4x – 5x ∙ 2x + 1 – 9 ∙ 4x + 1 + 30 ∙ 2x = 0.Решение.Разложим левую часть на множители: 
, 
Первый множитель никогда не равен нулю, поэтому ответом будут корни уравнений:Ответ: 3; 
.Пример 7.Решить уравнение: 
Решение.Заметим, что первое подмодульное выражение положительно при любом х, то есть его модуль равен подмодульному выражению. Рассмотрим две возможности для знака второго подмодульного выражения:- 1 случай.
Тогда 
2 случай. 
При этом 
— тождество, следовательно, любое значение x < -2 является решением уравнения.
Пример 8.Решить уравнение: 
Решение.При решении этого уравнения важно не забыть, что равенство будет верным не только в случае, когда показатель степени равен 0, но и тогда, когда основание степени в левой части равно 1, так как при возведении 1 в любую степень мы получим 1. Кроме того, ОДЗ определяется условием: х – 5 ≠ 0, то есть х ≠ 5.1 случай. 
2 случай. 
Ответ: 4; 6; 
При решении логарифмических уравнений, так же, как в случае иррациональных уравнений, возможно появление посторонних корней. Причина их появления — – расширение области определения исходного уравнения. Поэтому и проверка корней логарифмического уравнения осуществляется либо непосредственно по предварительно найденной области определения, либо по условиям её задающим (подстановкой в соответствующую систему неравенств). Заметим, что иногда удобно осуществить проверку и непосредственной подстановкой найденных корней в исходное логарифмическое уравнение. Это, конечно же, допустимо. Естественно, что при решении логарифмических уравнений возможно и следование стратегии равносильных преобразований. Далее мы рассмотрим примеры решения разного рода.Расширение области определения при решении логарифмических уравнений связано, как правило, с двумя обстоятельствами:- а) преобразование потенцирования («отбрасывания» логарифмов, замена уравнения
уравнением 
);б) использование «справа налево» формул:
Решение.Будем представлять правую часть уравнения последовательно в виде логарифмов с основаниями 4, 2 и 3 и проводить преобразование потенцирования:
, 
Проверим найденное значение непосредственной подстановкой в исходное уравнение:
Мы пришли к верному числовому равенству. Таким образом, 
— единственный корень данного уравнения.Ответ: 41.Пример 10.Решим уравнение: 
Решение.Представим 1 как 
и преобразуем левую и правую части уравнения, исходя из свойств логарифмов:
Потенцируя уравнение, получаем:
Решим это рациональное уравнение:
Осуществим проверку корней. Область определения исходного уравнения задается условиями: 
т.е. область определения: 
Оба корня, очевидно, принадлежат области определения. Таким образом, корни данного уравнения 
Ответ: 1,5; 10.Пример 11.Решим уравнение: 
Решение.Пусть 
тогда получаем систему уравнений:
Корни первого уравнения системы: 
Тогда исходное уравнение равносильно совокупности: 
т.е. 
Потенцируя полученные уравнения приходим к выводу, что х = 9 или х = 
Оба этих значения являются корнями данного уравнения, поскольку его область определения задается условием х + 1 > 0, т.е. х > -1.Ответ: 9; Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то следует привести их к одному основанию, воспользовавшись формулами перехода к новому основанию логарифма:Пример 12.Решим уравнение: 
Решение.В данном уравнении перейдем к логарифмам по основанию 2:
Последнее уравнение равносильно системе: 
Корни первого уравнения системы 
Таким образом, имеем совокупность уравнений: 
которая равносильна системе 
Откуда очевидно, что 
— единственный корень данного уравнения.Заметим, что применение формул перехода к новому основанию логарифма, как правило, приводит к изменению области определения уравнения. Поэтому следует анализировать в ходе решения, как возможность появления посторонних корней, так и возможность потери корней.Ответ: 0,5.