- BOST-MIX

Логарифмические неравенства

Простейшее логарифмическое неравенство

сводится к одной из двух систем неравенств:

1 случай. Если

a > 1.

2 случай. Если

, 0 < a < 1.

Пример 1.Решить неравенство:

Решение.Используя свойства логарифмов, преобразуем левую часть:

и решим систему неравенств:

Обращаем ваше внимание на то, что положительным должно быть каждое логарифмируемое выражение, а не только их произведение.Ответ: (1; 3).Пример 2.Решить неравенство:

Решение.Поскольку

решаем неравенство

Оно равносильно системе:

Заметим, что первое неравенство можно не решать, так как оно заведомо будет верным для всех решений второго неравенства. Тогда

Ответ:

Составим схемы равносильных преобразований для решения неравенств следующего вида:

Решение: где
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:
Решение:

Комментарий. Если основание логарифма переменно и может принимать значения как меньшие, так и большие 1, нужно рассмотреть эти ситуации отдельно, так как в первом случае знак неравенства не меняется при переходе к аргументам, а во втором – меняется на обратный.Пример 3.Решить неравенство:

Решение.Запишем неравенство в виде:

(учитываем, что x > 0, поэтому

1 случай.

2 случай.

Ответ:

Пример 4.Решить неравенство:

Решение.Пусть

тогда

и для t получаем неравенство:

Не забудьте, что в дробно-рациональном неравенстве важен знак не только числителя, но и знаменателя дроби, и решать его лучше всего методом интервалов (самая распространенная ошибка на этом этапе решения – «отбрасывание» знаменателя). Корни числителя: