Медианой треугольника (
)называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.Длина медианы треугольника выражается формулой:
.Длина стороны треугольника через медианы выражается формулой:
.Биссектрисой треугольника (
)называют отрезок прямой, заключенной между вершиной и точкой ее пересечения с противоположной стороной, которая делит угол пополам.Длина биссектрисы треугольника выражается формулой:
.Высота треугольника (
) – это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на противоположную сторону, или на ее продолжение.Длина высоты: 
Признаки равенства треугольников:- по двум сторонам и углу между ними;
- по стороне и двум прилегающим к ней углам;
- по трем сторонам.
- сумма любых двух углов треугольника меньше
; - в каждом треугольнике два угла острые;
- внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним;
- сумма углов треугольника равна ;
- внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним;
- сумма острых углов прямоугольного треугольника равна
.
.Средняя линия треугольника обладает свойством – она параллельна основанию треугольника и равна ее половине.Средняя линия треугольника отсекает от треугольника ему подобный треугольник.Площадь отсекаемого треугольника относится к площади основного треугольника в отношении 1:4.Свойства серединного перпендикуляра отрезка:
- точка лежащая на серединном перпендикуляре одинаково удалена от концов отрезка;
- любая точка, одинаково удаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.
- любая точка, лежащая на биссектрисе угла, одинаково удалена от сторон угла;
- любая точка, одинаково удаленная от сторон угла, лежит на биссектрисе угла.
Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Теорема косинусов. В любом треугольнике, квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними: 
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов: 
где R — радиус окружности, описанной около этого треугольника.Пусть a, b, c — стороны; 
— противолежащие им углы; p — полупериметр; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; S — площадь; — высота, проведенная к стороне a.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, опущенную на эту сторону (или половине произведения сторон на синус угла между ними).Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой. Остальные две стороны, называются катетами.Катет прямоугольного треугольника есть средняя пропорциональная величина между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу: 
— формула 
,
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу: 
или 
.Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
В прямоугольном треугольнике, медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равновеликих треугольника.Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
.Прямоугольный треугольник.a, b — катеты; c — гипотенуза; 
— проекции катетов на гипотенузу:
Свойства сторон и углов прямоугольного треугольника:- углы, противолежащие катетам — острые;
- гипотенуза больше любого из катетов;
- сумма катетов больше гипотенузы.
- по катету и острому углу;
- по двум катетам;
- по гипотенузе и катету;
- по гипотенузе и острому углу.
- в равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
- если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;
- в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой;
- если в треугольнике медиана и биссектриса (или высота и биссектриса, или медиана и высота), проведенная из какой-либо вершины, совпадают, то такой треугольник равнобедренный.
. Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой.Равносторонний треугольник:
Существование окружности, описанной около треугольника:- все три серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром описанной окружности. Описанная около треугольника окружность всегда существует и она единственна;
- центром описанной окружности прямоугольного треугольника является середина гипотенузы.
- все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке и эта точка является центром вписанной окружности;
- вписанная в треугольник окружность всегда существует и она единственна.
- по двум углам;
- по двум пропорциональным сторонам и углу между ними;
- по трем пропорциональным сторонам.
- по острому углу;
- по пропорциональным катетам;
- по пропорциональным катету и гипотенузе.
, AB=10, BC=8. Найдите cosA.Решение.
Для нахождения cosA необходимо воспользоваться определением косинуса острого угла прямоугольного треугольника. В рассматриваемом треугольнике 
, где АС — прилежащий катет, АВ — гипотенуза.Вычислим катет АС. Для этого применим теорему Пифагора: 
, тогда 
, тогда
.Окончательно получаем 
.Ответ: 0,6.Пример 2.На клетчатой бумаге с клетками размером 
изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к стороне: 
, где а — сторона, — высота, проведенная к стороне а. Данная задача имеет следующую особенность: высота, проведенная из правой вершины треугольника располагается вне самого треугольника. Однако и в данном случае будет справедлива формула .Обратимся к рисунку: высота треугольника равна 5 см (располагается в данном случае вертикально и равна пяти клеткам), сторона (основание, располагается горизонтально) равна 6 см.Вычислим далее площадь треугольника: 
см.Ответ: 15.Пример 3.На клетчатой бумаге с клетками размером изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.
Решение.Воспользуемся формулой площади треугольника через сторону и высоту, проведенную к стороне: , где а — сторона, — высота, проведенная к стороне а.Анализируя рисунок, заметим, что высота треугольника равна 4 см (располагается в данном случае вертикально и равна четырем клеткам), сторона (основание, располагается горизонтально) равна 9 см.Переходим к вычислению площади: 
см.Ответ: 18.Пример 4.Площадь треугольника ABC равна 30 см2. На стороне AC взята точка D так, что AD:DC=2:3. Длина перпендикуляра DE, проведенного на сторону BC, равна 9 см. Найти BC.Решение.Проведем BD (см. рис.);
треугольники ABD и BDC имеют общую высоту BF; следовательно, их площади относятся как длины оснований, т.е.: 
var container = document.getElementById('nativeroll_video_cont');
if (container) {
var parent = container.parentElement;
if (parent) {
const wrapper = document.createElement('div');
wrapper.classList.add('js-teasers-wrapper');
parent.insertBefore(wrapper, container.nextSibling);
}
}