- BOST-MIX

Параллелограмм, квадрат, ромб

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.Четырехугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.Виды четырехугольниковПараллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые.Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны.Квадрат — прямоугольник, у которого все стороны равны.Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.Дельтоид — четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны.Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.Четырехугольник имеет 4 оси симметрии: прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины; прямые, содержащие диагонали.Площадь любого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.Произвольный выпуклый четырехугольник:d₁, d₂ — диагонали; φ — угол между ними; S — площадь.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны Признаки (свойства) параллелограмма:

противоположные стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон;
если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны равны, то такой четырехугольник — параллелограмм;
если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы равны, то такой четырехугольник — параллелограмм;
если в выпуклом четырехугольнике диагонали делятся точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник — параллелограмм;
середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону (или произведению сторон на синус угла между ними).Параллелограмм:a, b —- смежные стороны; α — угол между ними; h_α — высота, проведенная к стороне a; S — площадь.

Свойства ромба

* все свойства параллелограмма;

противолежащие стороны равны;
противоположные углы равны;
диагонали точкой пересечения делятся пополам;
сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон;
диагонали перпендикулярны;
диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба.

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм — ромб.
Если диагональ параллелограмма является биссектрисой его угла, то параллелограмм — ромб.

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.Cвойства и признаки прямоугольника:

диагонали прямоугольника равны;
если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник;
середины сторон прямоугольника — вершины ромба;
середины сторон ромба — вершины прямоугольника.

Площадь прямоугольника:

Свойства и признаки квадрата (необходимые и достаточные условия того, что четырехугольник — квадрат

если четырехугольник — квадрат, то для него справедливы все следующие утверждения.
если для четырехугольника справедливо хотя бы одно из следующих утверждений, то он — квадрат.
все стороны равны и среди внутренних углов есть прямой угол.
диагонали равны, перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам.

Площадь квадрата: