Меню

bost-mix@at.ua

Многоугольники. Правильные многоугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольни

Многоугольники. Правильные многоугольники. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника
Объединение замкнутой ломаной и ее внутренней области называют многоугольником.Саму ломаную называют границей многоугольника, а ее внутреннюю область — внутренней областью многоугольника.Звенья границы многоугольника называются сторонами многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника.Отрезок, соединяющий две не соседние вершины многоугольника, называют его диагональю.Многоугольник называют выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону.Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны.Центром правильного многоугольника называется точка, равноудаленная от всех его вершин и всех его сторон.Центральным углом правильного многоугольника называется угол, под которым видна сторона из его центра.Соотношения в многоугольниках:
  • все правильные многоугольники подобны друг другу;
  • сумма углов любого выпуклого многоугольника равна 180°(n — 2);
  • сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360°;
  • периметры подобных многоугольников относятся, как их сходственные стороны, и это отношение равнокоэффициенту подобия;
  • площади подобных многоугольников относятся, как квадраты их сходственных сторон, и это отношение равно квадрату коэффициента подобия.
Сумма противоположных углов четырехугольника, вписанного в окружность, равна 180°.Четырехугольник можно описать вокруг окружности, если суммы длин противоположных сторон равны.Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольникаКак следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.Вписанный простой (без самопересечений) четырехугольник по определению является выпуклым.Вокруг выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180°.Можно описать окружность вокруг:
  • любого прямоугольника (частный случай квадрат);
  • любой равнобедренной трапеции.
У четырехугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:|AC| · |BD| = |AB| · |CD| + |BC| · |AD|Произвольный выпуклый четырехугольник(d1, d2 — диагонали; φ — угол между ними; S — площадь):Описанный многоугольник(p — полупериметр; r — радиус вписанной окружности):Правильный многоугольник(an — сторона правильного n-угольника; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности):Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру.Во всяком описанном четырехугольнике середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения противоположных сторон четырехугольника. Эта прямая называется прямой Гаусса.Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).Пример 1.Можно ли в четырехугольник ABCD со сторонами AВ = 7 см, ВC = 9 см, СD = 8 cм, AD = 6 см вписать окружность?РешениеТак как суммы противоположных сторон равны:AВ + СD = 7 + 8 = 15 cм,BС + AD = 9 + 6 = 15 cм, то в него можно вписать окружность.Ответ: вписать окружность можно.Пример 2.Можно ли вокруг четырехугольник ABCD с углами  описать окружность?РешениеТак как суммы противоположных углов не равны:,то вокруг такого четырехугольника нельзя описать окружность.Ответ: описать окружность нельзя.Пример 3.В равнобедренной трапеции основания 21 и 9 сантиметров, высота — 8 сантиметров. Найти радиус описанной окружности.Решение
  1. Проведем серединные перпендикуляры к основаниям Н и К, тогда центр окружности О лежит на прямой НК.
  2. АО = ОВ = R. Точка О делит отрезок НК на две части: пусть НО = х, тогда ОК = 8 — х.
  3. АО2 = АК2 + КО2; ОВ2 = ВН2 + НО2;так как ОА2 = ОВ2, получим:АК2 + КО2 = ВН2 + НО2
Ответ: OB = 10,625Пример 4.В ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.РешениеДано: ромб, радиус вписанной окружности — R, BD > r в 4 раза.Найти: SABCD
  1. Пусть OE = R, BD = 4OE = 4R
Ответ: Пример 5.Найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.РешениеДано: ABCD — равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10Найти: SABCD
  1. AB = CD = 10 по условию.
  2. AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности.
  3. AD + BC = 10 + 10 = 20.
  4. FE = 2r = 2 · 4 = 8.
Ответ: SABCD = 80.Пример 6.Вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.Решение
  1. Пусть , тогда по условию 
Ответ: .

Форма входа