Комбинированные задачи
Длина биссектрисы
В равнобедренном треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.Если треугольник разносторонний, то для любой его вершины биссектриса, проведенная из нее, лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины.Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника также пересекаются в одной точке, которая совпадает с центром описанной окружности.Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку.Свойства серединных перпендикуляров треугольникаКаждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.Свойство средней линии треугольникаСредняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.Решение косоугольных треугольниковТеорема синусов
Теорема косинусов
Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
Длина медианы треугольника выражается формулой:
.Длина стороны треугольника через медианы выражается формулой:
.Длина биссектрисы треугольника выражается формулой:
.Длина высоты:
Прямоугольный треугольник
a, b — катеты; c — гипотенуза; ac, bc — проекции катетов на гипотенузу:Теорема Пифагора
Решение прямоугольных треугольников
.Пример 1.В треугольнике ABC AB = BC, AC = 5, cos C = 0,8. Найдите высоту CH.
РешениеОбозначим искомую высоту CH = x. Перед нами равнобедренный треугольник ABC, в котором AB = BC. Следовательно, согласно свойствам равнобедренного треугольника, имеем: 
и cos A = cos C = 0,8.Рассмотрим треугольник ACH. Он прямоугольный (
), причем AC = 5 и cos A = 0,8. По определению, 
. Получаем пропорцию:
.Осталось воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ACH:
.Ответ: 3.Пример 2.В прямоугольном треугольнике ABC 
. Найти синус угла CAD.
РешениеПоскольку нам известна гипотенуза AC = 40 и катет AB = 32, можно найти косинус угла A: 
.Зная косинус, можно найти синус через основное тригонометрическое тождество:
.При нахождении синуса вновь был использован тот факт, что тригонометрические функции острого угла положительны. Осталось заметить, что углы BAC и CAD смежные. Имеем:
.Ответ: 0,6Пример 3.В треугольнике ABC AC = BC = 5, AB = 8, CH — высота. Найдите tg A.
РешениеТреугольник ABC — равнобедренный, CH — высота, поэтому заметим, что AH = BH = 0,5 • AB = 0,5 • 8 = 4 — по свойствам равнобедренного треугольника.Теперь рассмотрим треугольник ACH: в нем 
. Можно выразить тангенс: 
. Но AH = 4, поэтому остается найти сторону CH, которую обозначим CH = x. По теореме Пифагора имеем:
.Теперь все готово, чтобы найти тангенс: 
.Ответ: 0,75Пример 4.В треугольнике ABC AC = BC, AB = 6, cos A = 3/5. Найти высоту AH.
РешениеОбозначим искомую высоту AH = x. Снова треугольник ABC — равнобедренный, поэтому заметим, что 
, следовательно, 
.Рассмотрим треугольник ABH. По условию, он прямоугольный (
), причем известна гипотенуза AB = 6 и 
. Но 
. Получили пропорцию:
.Теперь найдем AH = x по теореме Пифагора для треугольника ABH:
Ответ: 4,8.Дополнительные соображенияБывают нестандартные задачи, где рассмотренные выше факты и схемы бесполезны. Увы, в таком случае нужен действительно индивидуальный подход. Подобные задачи любят давать на всевозможных «пробных» и «демонстрационных» экзаменах.Ниже приведены две реальные задачи, которые предлагались на пробном ЕГЭ в Москве. Справились с ними единицы, что свидетельствует о высокой сложности этих задач.Пример 5.В прямоугольном треугольнике ABC из угла C = 90° провели медиану и высоту. Известно, что 
. Найти 
.
РешениеЗаметим, что медиана CM проведена к гипотенузе AB, поэтому M — центр описанной окружности, т.е. AM = BM = CM = R, где R — радиус описанной окружности. Следовательно, треугольник ACM — равнобедренный, и 
.Теперь рассмотрим треугольники ABC и CBH. По условию, оба треугольника прямоугольные. Кроме того, 
— общий. Следовательно, треугольники ABC и CBH подобны по двум углам.В подобных треугольниках соответствующие элементы пропорциональны. В частности, 
.Наконец, рассмотрим 
. Он прямой, и, кроме того, 
. В этом равенстве — искомый, а 
и 
известны и равны 23°. Имеем:
.Ответ: 44°Пример 6.Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.
РешениеОбозначим стороны прямоугольника: AB = x, BC = y. Выразим периметр: 
.Аналогично выразим площадь: SABCD = AB • BC = x • y = 60.Теперь рассмотрим треугольник ABC. Он прямоугольный, поэтому запишем теорему Пифагора:
.Заметим, что из формулы квадрата разности следует равенство:x2 + y2 = (x + y)2 - 2 • x • y = 172 - 2 • 60 = 289 - 120 = 169.Итак, AC2 = 169, откуда AC = 13.Ответ: 13.